Построение накрытий простых групп с помощью евклидовых решёток

Целью данной работы является построение некоторых исключительных (не вкладывающихся в бесконечные семейства) накрытий конечных простых групп. Основным инструментом при этом служат дискретные решётки в действительных и комплексных евклидовых пространствах.
Пусть $G$  — произвольная группа. Её накрытием называется любая группа $\tilde G$, в которой существует подгруппа $Z\leq Z(\tilde G)\cap\tilde G'$, удовлетворяющая условию $\tilde G/Z\cong G$.
Известно, что для любой конечной группы $G$ любое её накрытие также конечно, причём существует некоторое накрытие $\tilde G$ наибольшего порядка. Соответствующая подгруппа $Z\leq\tilde G$ определена однозначно с точностью до изоморфизма и называется мультипликатором Шура группы $G$. Если $G'=G$ (в частности, если $G$ простая неабелева), то и $\tilde G$ определена однозначно с точностью до изоморфизма.
Суть используемого метода в общем случае заключается в следующем. В пространстве $\mathbb R^n$ или $\mathbb C^n$ строится некоторая решётка $X$, рассматриваемая как $\mathcal E$-модуль для некоторого евклидова кольца $\mathcal E$. В силу дискретности $X$ её группа автоморфизмов $G$ конечна. Фактор-решётка $X$ по некоторой подрешётке $\alpha X$, $\alpha\in\mathcal E$, рассматривается как векторное пространство над полем $\mathcal E/\alpha\mathcal E$, на котором вводится билинейная или полуторалинейная форма, индуцированная скалярным произведением в $\mathbb R^n$ ($\mathbb C^n$). В результате этого фактор-группа $G$ по подгруппе скалярных матриц оказывается вложенной в некоторую конечную линейную группу, откуда и следует существование накрытия этой линейной группы или её подгруппы.
В данной работе метод будет продемонстрирован на примере исключительных накрытий $2\cdot\Omega_8^+(2)$, $3\cdot\mathrm{U}_4(3)$ и $4\cdot M_{22}$. В процессе их построения будут также получены исключительные накрытия $3\cdot A_6$, $3\cdot A_7$ (в действительности при $n\ne6,7$ группа $A_n$ не допускает тройного накрытия) и вложение $\mathrm{U}_4(3)\mathbin{.}2\hookrightarrow\mathrm{U}_6(2)$.