Взвешенные частично упорядоченные множества и обогащённый мономиальный базис QSym

Фундаментальные функции Гесселя и функции пиков Стембриджа являются производящими функциями для (обогащённых) $P$-разбиений на помеченных цепочках. Они также являются базами двух важных подалгебр алгебры формальных степенных рядов: кольца квазисимметрических функций (QSym) и алгебры пиков соответственно. Сяо ввёл мономиальные функции пиков  — базис алгебры пиков, индексированный нечётными целочисленными композициями. Мономиальные функции пиков связаны с функциями пиков наподобие того, как связаны друг с другом мономиальный и фундаментальный базисы QSym. Мы показываем, что расширение множества мономиальных пиков до множества мономиальных пиков, индексированных произвольными композициями, является новым базисом QSym. Мы также обобщаем результаты Сяо, включая формулу произведения. Для этого мы вводим взвешенный вариант частично упорядоченных множеств и изучаем их производящие функции.