Регулярность полугрупп отображений, сохраняющих заданное бинарное отношение

Рассматриваются полугруппы полных, частичных и многозначных отображений множества $X$ в $X$, сохраняющих заданное на $X$ бинарное отношение $\sigma$. Предложены несколько вариантов определений сохранения $\sigma$ для частичных и многозначных отображений. Приведён обзор результатов, характеризующих регулярность упомянутых выше полугрупп в случае, когда $\sigma$ является частичным порядком, квазипорядком, эквивалентностью и ещё некоторыми частными случаями бинарных отношений. Также рассмотрен вопрос регулярности полугруппы полных отображений, сохраняющих одновременно частичный порядок и эквивалентность.