Видоизмененная задача Дирихле для эллиптической системы, вырождающейся в нуле и на $n$-мерной сфере

Принадлежность системы с переменными коэффициентами тому или иному гомотопическому классу зависит от точки области, в которой рассматривается система. Многообразия вырождения разбивают первоначальную область на части. Представляет интерес изучение влияния такого вырождения на характер разрешимости граничных задач [1]. Рассмотрена система $n$ уравнений второго порядка
$$ -(x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2)\Delta u_j+\lambda\frac{\partial}{\partial x_j}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0,\quad j=1,\ldots,n, $$
с вещественным параметром $\lambda>0$, эллиптичная везде, кроме начала координат и $n$-мерной сферы, на которых происходит параболическое вырождение. Доказано, что видоизмененная задача Дирихле для этой системы в шаре, как содержащем сферу вырождения, так и находящемся внутри нее, разрешима и ее решение единственно в классе ограниченных функций.