Кольца на векторных абелевых группах

Умножением на абелевой группе $G$ называют гомоморфизм $\mu\colon G\otimes G\rightarrow G$; абелева группа с заданным на ней умножением называется кольцом на этой группе. Если на абелевой группе существует хотя бы одно полупростое ассоциативное кольцо, то она называется полупростой. Проблема изучения полупростых групп была сформулирована Р. А. Бьюмонтом и Д. А. Лоувером, далее эта проблема была сведена к случаю редуцированных абелевых групп. В настоящей работе описаны полупростые группы в классе редуцированных абелевых векторных групп неизмеримой мощности. Показано, что любое умножение на прямом произведении $\prod\limits_{i\in I} A_i$ редуцированных абелевых групп без кручения ранга $ 1 $, где множество $I$ неизмеримо, определяется его ограничением на сумму $\bigoplus\limits_{i\in I} A_i$, причём данное утверждение неверно, если множество $I$ измеримо или хотя бы одна из групп $A_i$ ($i\in I$) не является редуцированной.