О равномерно собственной классификации открытых многообразий

Мы предлагаем краткий обзор равномерно собственной классификации открытых многообразий, т. е. классификации относительно ограниченных, равномерно собственных отображений. Малая категория классов диффеоморфизма открытых $n$-многообразий, $n\ge2$, имеет несчётное число гомотопических типов. Наш подход состоит в том, чтобы расщепить это множество на обобщённые компоненты и попытаться классифицировать эти компоненты, а затем и отдельные элементы внутри этих компонент. Для определения этих компонент мы вводим метризуемые равномерные структуры Громова–Хаусдорфа и Липшица и соответствующие $\mathrm{GH}$- и $\mathrm{L}$-когомологии. $\mathrm{GH}$-компоненты хорошо подходят для построения геометрической теории бордизмов, в то время как $\mathrm{L}$-компоненты лучше всего подходят для перестроек. Мы приведём набор независимых образующих для групп бордизмов. Фундаментальный вклад Ф. Т. Фаррелла, Дж. Б. Вагонера, Л. К. Зибенманна, С. Момари и Л. Р. Тейлора играет решающую роль. В нашем подходе мы предполагаем, что многообразия снабжены метрикой ограниченной геометрии, и ограничиваемся рассмотрением ограниченных равномерно собственных морфизмов. Наконец, мы задаёмся вопросом, при каких условиях ограниченная геометрия и равномерная собственность сохраняются при перестройках, и описываем некоторые группы собственных перестроек.