О независимых семействах нормальных подгрупп свободных групп

Рассмотрим копредставление $\mathcal{P}=\Bigl\langle\mathbf x\mid \bigcup\limits_{i=1}^n \mathbf r_i\Bigr\rangle$. Пусть $\mathbf R_i$ — нормальное замыкание множества $\mathbf r_i$ в свободной группе $\mathbf F$ с базисом $\mathbf{x}$, $\mathcal{P}_i=\langle \mathbf{x}\mid\mathbf r_i\rangle$, $\mathbf N_i = \prod\limits_{j\neq i}\mathbf R_j$. В данной работе с использованием геометрической техники картинок определяются порождающие для $\frac{\mathbf R_i\cap \mathbf N_i}{[\mathbf R_i, \mathbf N_i]}$, $i=1,\ldots,n$, по множеству порождающих над $\{\mathcal{P}_i\mid i=1,\ldots, n\}$ для $\pi_2(\mathcal{P})$. В качестве следствия получено достаточное условие независимости семейства множеств $\{\mathbf R_1,\ldots,\mathbf R_n\}$.