Структурные графы колец: определения и первые результаты

В комплексной геометрии формулы Виета $(x,y)\mapsto(u,v)=(x+y,xy)$ определяют двулистное накрытие $\mathbb C^2\to\mathbb C^2$, разветвлённое вдоль параболы $u^{2}=4v$. Как-то перечитывая статью В. И. Арнольда “Topological content of the Maxwell theorem on multipole representation of spherical functions”, в которой это отображение используется, я обратил внимание, что эти формулы описывают алгебраическую структуру, т.е. сложение и умножение, поля комплексных чисел. Естественным образом возникает простой вопрос: а что получится, если вместо $\mathbb C$ взять произвольное коммутативное кольцо с единицей? Иными словами, какие алгебраические свойства кольца $A$ отражает отображение Виета $\Phi\colon A^2\to A^2$, заданное формулой $\Phi(x,y)=(x+y,xy)$? Для начала интересно посмотреть, что получится для простейших колец $\mathbb Z_m$, $\mathbb Z_k\times\mathbb Z_m$. Стоит отметить, что в последнее время достаточно активно изучаются графы, которые тем или иным способом строятся по данному конечному кольцу: граф делителей нуля, граф Кэли, граф идеалов и т.п. Отображение Виета тоже задаёт некоторый ориентированный граф, свойства которого мы обсуждаем в настоящей статье.