Экспериментальное исследование гипотезы о порядке случайного элемента матричной модулярной группы

Гипотеза о порядке случайного элемента матричной модулярной группы формулируется следующим образом: случайный элемент матричной группы над кольцом вычетов по модулю $n$ с высокой вероятностью имеет порядок, больший или равный значению функции Эйлера от $n$. Если эта гипотеза верна, то можно будет существенно ускорить генерацию ключей в матричных модулярных криптосистемах, что повысит эффективность и безопасность этих криптосистем. Эксперименты проводились в пяти матричных модулярных группах по однотипной схеме: сначала формировалась большая выборка случайных элементов группы, а затем вычислялись порядки элементов этой выборки. Результаты экспериментов показывают, что для всех рассмотренных групп порядки случайных элементов удовлетворяют одному и тому же вероятностному распределению. Более того, вероятность того, что случайный элемент группы имеет “большой порядок” (т.е. порядок больше или равен значению функции Эйлера от $n$), оказалась примерно одинаковой во всех рассмотренных группах, а именно около $0{,}85$.