Поведение экстремалей в окрестности особых режимов и негладкие функции Ляпунова в задачах оптимального управления

Рассматривается широкий класс управляемых систем с ограниченным скалярным управлением, которые являются малыми (в смысле действия группы Фуллера) возмущениями $n$-мерной канонической управляемой системы. Для $n$-мерной возмущенной задачи Фуллера — задачи минимизации квадратичного функционала качества — доказано существование оптимального решения и конечность времени его прихода в положение равновесия — особый режим задачи. Для широкого класса возмущений специального вида доказана теорема о том, что при подходе к особой траектории оптимальное управление испытывает бесконечное число учащающихся переключений на конечном интервале времени. В качестве приложения, рассмотрены задачи управления механическим роботом, в которых найдены особые режимы высоких порядков и оптимальные траектории с учащающимися переключениями. Для решения задачи стабилизации нелинейных управляемых систем используется прямой (или второй) метод Ляпунова. Предлагается метод “срезки” для построения негладких функций Ляпунова, значения которых совпадают по порядку с функцией времени быстродействия для канонической системы. Благодаря этому, удается показать, что существует такой локальный синтез ограниченного управления, который приводит любую систему с возмущением из рассматриваемого класса в положение равновесия. При этом асимптотика времени прихода такая же (по порядку малости), как и для невозмущенной системы.