Об интегральном представлении $\Gamma$-предельных функционалов

Рассматривается $\Gamma$-сходимость последовательности интегральных функционалов $F_n(u)$, определённых на функциях $u$ из соболевского пространства $W^{1,\alpha}(\Omega)$ ($\alpha>1$), $\Omega$ – ограниченная липшицева область, с интегрантами $f_n(x,u,\nabla u)$, зависящими от самой функции $u$ и её градиента $\nabla u$. Интегранты $f_n(x,s,\xi)$ выпуклы по $\xi$ и удовлетворяют двусторонней степенной оценке коэрцитивности и роста с разными показателями $\alpha<\beta$. Кроме того, интегранты $f_n(x,s,\xi)$ равномерно непрерывны по $s$ в определённом смысле с одним и тем же модулем непрерывности. Установлено, что $\Gamma$-предельный функционал совпадает на функциях из $L^\infty(\Omega)\cap W^{1,\beta}(\Omega)$ с интегральным функционалом $F(u)$, интегрант которого из того же класса, что допредельные интегранты.