Расщепление сепаратрис, ветвление решений и неинтегрируемость многомерных систем. Приложения к задаче о движении сферического маятника с колеблющейся точкой подвеса

На примере задачи о движении сферического маятника с точкой подвеса, совершающей малые пространственные периодические колебания, обсуждаются некоторые возможности предложенного автором подхода к проблеме неинтегрируемости многомерных систем, связанного с расщеплением многомерных сепаратрис и с ветвлением решений в комплексной области. Коротко воспроизводятся полученные ранее результаты и обсуждаются их обобщения, основанные на вычислении возмущения линейной части отображения Пуанкаре в гиперболической точке. Поскольку при этом возмущении, вообще говоря, нарушается скалярный характер ограничений линейной части отображения на её двумерные расширяющееся и сжимающееся инвариантные подпространства, удаётся получить более слабые условия неинтегрируемости. Эти условия выражены, однако, в терминах некоторых повторных интегралов, поскольку приходится работать во втором порядке теории возмущений. Показано, что, в случае когда ускорение точки подвеса представлено функцией комплексного времени, однозначной в проколотых окрестностях некоторых изолированных особенностей, условия неинтегрируемости могут быть сведены к очень простым условиям в терминах определённых локальных величин, относящихся к этим особенностям. Развиваемый подход может быть полезен для задач, в которых невозмущённая система обладает симметрией, приводящей к вырождению, вроде скалярного характера ограничений линейной части отображения Пуанкаре на её инвариантные подпространства.