Многочлены Чебышёва, многочлены Золотарёва и плоские деревья

Многочлен, у которого ровно два критических значения, называется обобщённым многочленом Чебышёва (или многочленом Шабата). Многочлен, у которого ровно три критических значения, называется многочленом Золотарёва. Два многочлена Чебышёва $f$ и $g$ называются $\mathrm Z$-гомотопными, если существует семейство многочленов $p_\alpha$, $\alpha\in[0,1]$, где $p_0=f$, $p_1=g$ и $p_\alpha$, $\alpha\in(0,1)$, – многочлен Золотарёва. Так как многочлен Чебышёва задаёт плоское дерево (и наоборот), то $\mathrm Z$-гомотопия определена на множестве плоских деревьев. В этой работе будут доказаны геометрические условия существования $\mathrm Z$-гомотопии, будет описана $\mathrm Z$-гомотопия для деревьев с пятью и шестью рёбрами и будут разобран интересный пример в классе деревьев с семью рёбрами.