Кубатурные и квадратурные формулы высокого порядка аппроксимации

Данная работа посвящена использованию полулокальных сглаживающих сплайнов или $S$-сплайнов для построения кубатурных формул. Такие сплайны являются кусочно-полиномиальной функцией, первые коэффициенты каждого полинома определяются условиями гладкой склейки, а остальные – методом наименьших квадратов. Ранее рассматривались и применялись сплайны $3$- й и $5$-й степени. Настоящая работа посвящена использованию $S$-сплайнов степени $n$ ($n=9,10$). Особый интерес для вычисления интегралов представляют $S$-сплайны класса $C^0$ (только непрерывные). С помощью таких сплайнов строятся квадратурные и кубатурные формулы высокого порядка аппроксимации для вычисления одно-, двух- и трёхмерных интегралов в односвязной области $10$- го и $11$-го порядков аппроксимации. Предполагается, что интегрируемая функция принадлежит классу $C^{(n+1)}$ ($n=9,10$) в несколько большей области, чем исходная область, по которой ведётся интегрирование. Предполагается также, что граница области задана параметрически, что позволяет с высокой степенью точности учесть границу области. Получены соответствующие оценки сходимости. Подобный подход возможен и для построения формул интегрирования гладких функций в многомерных областях.