$k$-смежностные грани булева квадратичного многогранника

Булев квадратичный многогранник (или корреляционный многогранник) определяется как выпуклая оболочка
$$ \operatorname{BQP}(n)=\operatorname{conv}\{x=(x_{ij})\in\{0,1\}^{n(n+1)/2}\mid x_{ij}=x_{ii}x_{jj},\ 1\le i\le j\le n\}. $$
Число $2^n$ его вершин суперполиномиально по размерности $d=n(n+1)/2$. В 1992 г. М. Деза, М. Лоран и С. Поляк доказали, что $\operatorname{BQP}(n)$ $3$-смежностный, т.е. любые три его вершины образуют грань этого многогранника. По аналогии с булевыми квадратичными многогранниками в статье рассматриваются булевы многогранники $\operatorname{BQP}(n,p)$ степени $p$. Для $p=2$ $\operatorname{BQP}(n,p)$ совпадает с $\operatorname{BQP}(n)$. Для $p=1$ $\operatorname{BQP}(n,p)$ – $n$-мерный $0/1$-куб. Показано, что $\operatorname{BQP}(n,p)$ $s$-смежностный при $s\le p+\lfloor p/2\rfloor$. Для $m\in\mathbb N$ и $k\ge2m$ доказано, что многогранник $\operatorname{BQP}(k,2m)$ линейно изоморфен некоторой грани многогранника $\operatorname{BQP}(n)$ при $n=\Theta\left(\binom km\right)$. Следовательно, для любого фиксированного $s\le3\lfloor(\log_2n)/2\rfloor$ $\operatorname{BQP}(n)$ имеет $s$-смежностную грань с суперполиномиальным числом $2^{\Theta(n^{1/\lceil s/3\rceil})}$ вершин.