Оценки высоты в смысле Ширшова и на количество фрагментов малого периода

Работа посвящена получению оценок в теореме Ширшова о высоте. Слово $W$ называется $n$-разбиваемым, если его можно представить в виде $W=W_0W_1\cdots W_n$, где подслова $W_1,\dots,W_n$ идут в порядке лексикографического убывания. Из не $n$-разбиваемых слов состоит базис алгебры с тождеством степени $n$. А. И. Ширшов показал, что множество слов, не являющихся $n$-разбиваемыми, над алфавитом из $l$ букв имеет ограниченную высоту $h$ над $Y$ – множеством слов степени не выше $n-1$. Мы показываем, что $h<\Phi(n,l)$, где $\Phi(n,l)=2^{87}l\cdot n^{12\log_3n+48}$.
Пусть $l,n$ и $d\geq n$ – некоторые натуральные числа. Тогда все слова над $l$-буквенном алфавитом длины больше, чем $\Psi(n,d,l)$, либо содержат $x^d$, либо являются $n$-разбиваемыми, где $\Psi(n,d,l)=2^{18}l(nd)^{3 \log_3(nd)+13}d^2$.
В 1993 году Е. И. Зельманов поставил следующий вопрос в “Днестровской тетради”: пусть $F_{2,m}$ – свободное $2$-порождённое ассоциативное кольцо с тождеством $x^m=0$. Верно ли, что класс нильпотентности кольца $F_{2,m}$ растёт экспоненциально по $m$? В работе показано, что в $l$-порождённой ассоциативной алгебре с тождеством $x^d=0$ класс нильпотентности меньше, чем $\Psi(d,d,l)$. Тем самым получаются субэкспоненциальные оценки на индекс нильпотентности ниль-алгебр для произвольной характеристики. Изначальная оценка высоты у А. И. Ширшова носила рекурсивный характер, в 1982 году была получена двойная экспонента, в 1992 году – экспоненциальная оценка.
Доказательство использует идею В. Н. Латышева, связанную с применением теоремы Дилуорса к исследованию не $n$-разбиваемых слов. Нам представляется, что теорема о высоте имеет глубокую связь с задачами современной комбинаторики, в частности рамсеевского типа. С помощью такого рода соображений получаются верхние и нижние оценки количества периодов длины $2,3,n-1$ в не $n$-разбиваемом слове, отличающиеся только постоянным множителем.