Категории ограниченных $(\mathfrak{sp}(\mathrm S^2V\oplus\mathrm S^2V^*),\mathfrak{gl}(V))$- и $(\mathfrak{sp}(\Lambda^2V\oplus\Lambda^2V^*),\mathfrak{gl}(V))$-модулей

Пусть $\mathfrak g$ – редуктивная алгебра Ли над $\mathbb C$, а $\mathfrak k\subset\mathfrak g$ – редуктивная в $\mathfrak g$ подалгебра. Мы называем $\mathfrak g$-модуль $M$ $(\mathfrak g, \mathfrak k)$-модулем, если $M$ изоморфен прямой сумме конечномерных $\mathfrak k$-модулей. Мы называем $(\mathfrak g,\mathfrak k)$-модуль $M$ ограниченным, если существует такое число $C_M\in\mathbb Z_{\ge0}$, что для всякого простого конечномерного $\mathfrak k$-модуля $E$ размерность изотипной компоненты $E$ не превосходит $C_M\dim E$. Ограниченные $(\mathfrak g,\mathfrak k)$-модули задают полную подкатегорию категории $\mathfrak g$-модулей. Пусть $V$ – конечномерное векторное пространство. Мы показываем, что категории ограниченных $(\mathfrak{sp}(\mathrm S^2V\oplus\mathrm S^2V^*),\mathfrak{gl}(V))$-модулей и $(\mathfrak{sp}(\Lambda^2V\oplus\Lambda^2V^*),\mathfrak{gl}(V))$-модулей изоморфны прямой сумме счётного числа копий категории представлений некоторого явно заданного колчана с соотношениями при некоторых мягких предположениях о размерности $V$.