Когда все групповые коды некоммутативной группы абелевы (вычислительный подход)?

Пусть $G$ – конечная группа, $F$ – поле. Любой линейный код над полем $F$, перестановочно эквивалентный коду, определённому некоторым идеалом группового кольца $FG$, назовём $G$-кодом. Теория таких “абстрактных” групповых кодов была развита в 2009 году. Код был назван абелевым, если он является $A$-кодом для некоторой абелевой группы $A$. Были приведены некоторые условия, при которых все $G$-коды для заданной группы $G$ абелевы, но ни одного примера неабелева группового кода в это время не было известно. С помощью системы компьютерной алгебры GAP мы показываем, что все $G$-коды над любым полем $F$ являются абелевыми, если $|G|<127$ и $|G|\notin\{24,48,54,60,64,72,96,108,120\}$, но для $F=\mathbb F_5$ и $G=\mathrm S_4$ существуют неабелевы $G$-коды над $F$. Показано также, что существование левого неабелева группового кода для заданной группы зависит, вообще говоря, от выбора поля коэффициентов; для (двусторонних) групповых кодов соответствующий вопрос остаётся открытым.