Свободные произведения групп с объединением: стратификация множеств нормальных форм и оценки

Пусть $A,B,C$ – свободные группы конечного ранга, $G=\mathop{A\ast B}\limits_C$ – свободное произведение групп с объединением. На множестве нормальных форм элементов $G$ в статье введены атомарные меры и соответствующие им асимптотические плотности. Определены две страты для нормальных форм: первая страта регулярных (или стабильных) нормальных форм, вторая – сингулярных (или нестабильных) нормальных форм. В более ранних работах авторов для классических алгоритмических проблем было показано, что стандартные алгоритмы для свободных конструкций групп работают хорошо на элементах первой страты, но об их работе на второй страте может быть ничего не известно. В данной статье даются вероятностные и асимптотические оценки размеров этих страт.