О дзета-функциях и семействах зигелевых модулярных форм

Пусть $p$ – простое число и $\Gamma=\mathrm{Sp}_g(\mathbb Z)$ – зигелева модулярная группа рода $g$. Изучаются $p$-адические семейства и $L$-функции зигелевых модулярных форм. В частности, $L$-функции зигелевых модулярных форм описаны в терминах мотивных $L$-функций, связанных с группой $\mathrm{Sp}_g$, приведены их аналитические свойства. В связи с $p$-адическими конструкциями обсуждаются критические значения спинорных $L$-функций. Установлена лемма Ранкина высшего рода. Сформулирована общая гипотеза о подъёме модулярных форм из произведения $\mathrm{GSp}_{2m}\times\mathrm{GSp}_{2m}$ в модулярные формы для группы $\mathrm{GSp}_{4m}$ (рода $g=4m$). Даются конструкции $p$-адических семейств зигелевых модулярных форм, использующие построения Икеды–Мияваки.