Биномиальные уравнения Туэ, тернарные уравнения и степени среди значений полиномов

Мы в явном виде решаем уравнение $Ax^n-By^n=\pm1$. Кроме того, мы получаем ряд новых результатов для семейств уравнений вида $Ax^n-By^n=z^m$ с $m\in\{3,n\}$, где $x,y,z,A,B,n$ – неизвестные ненулевые целые числа, такие что $n\geq3$, $AB=p^\alpha q^\beta$ с натуральными $\alpha,\beta$, $2\leq p<q<30$ – простые числа. В доказательствах используется ряд глубоких методов, в том числе модулярный подход и современные оценки линейных форм от логарифмов. В некоторых случаях используются локальный анализ и компьютерное решение уравнений Туэ малых степеней.