Замечания о линейной независимости $q$-гармонических рядов

При любом целом алгебраическом $q$, $|q|>1$, доказывается линейная независимость над $\mathbb Q$ чисел $1$, $\zeta_q(1)$, $\zeta_{-q}(1)$, где $\zeta_q(1)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{q^n-1}$ – так называемый $q$-гармонический ряд, или $q$-дзета-значение в точке $1$. Кроме того, устанавливается оценка меры линейной независимости этих чисел.