О показателе сходимости особого интеграла обобщенной проблемы Гильберта–Камке

В работе получено точное значение показателя сходимости особого интеграла в задаче об одновременном представлении набора растущих натуральных чисел $N_1,\ldots,N_r$ суммами слагаемых вида $[x^{n_1+\theta}],[x^{n_2+\theta}],\ldots,[x^{n_r+\theta}]$ $n_1<n_2<\ldots<n_r$ — натуральные числа, $0\leq\theta\leq1$). Рассматривается интеграл
$$ \theta_0=\int\limits_{\mathbb R^r}|I(\alpha _1,\ldots,\alpha_r)|^k\,d\alpha_1\ldots d\alpha_r, $$
где $k$ — произвольный показатель, а
$$ I(\alpha_1,\ldots,\alpha_r)=\int\limits_{0}^{1}\exp\biggl\{2\pi i\sum_{j=1}^{r}\alpha_jx^{n_j+\theta} \biggr\}\,dx. $$
Доказано, что $\theta_0$ сходится при $k>k_0$ и расходится при $k\leq k_0$, где
$$ k_0=\max\left\{n_1+\cdots+n_r+r\theta,1+\frac{r(r+1)}{2}\right\}. $$