Дифференциально-геометрические структуры на обобщённых три-тканях Рейдемейстера и Бола

Приводятся основные результаты исследования многомерных три-тканей $W(p,q,r)$, полученные с помощью метода внешних форм и подвижного репера Картана, развитого в работах российских математиков С. П. Финикова, Г. Ф. Лаптева и А. М. Васильева. Основы дифференциально-геометрической теории $(p,q,r)$-тканей заложены М. А. Акивисом и В. В. Гольдбергом. Исследование $(p,q,r)$-тканей, включая алгебраический и геометрический аспекты теории, было продолжено в наших работах, в частности, были найдены структурные уравнения три-ткани $W(p,q,r)$ при $p=\lambda l$, $q=\lambda m$, $r=\lambda(l+m-1)$. Для таких тканей было определено понятие обобщённой конфигурации Рейдемейстера и доказано, что три-ткань $W(\lambda l,\lambda m,\lambda (l+m-1))$, на которой замыкаются все достаточно малые обобщённые конфигурации Рейдемейстера, порождается некоторой $\lambda$-мерной группой Ли $G$. Было показано, что структурные уравнения такой ткани связаны с уравнениями Маурера–Картана группы $G$. Обобщённые конфигурации Рейдемейстера и Бола были определены нами для три-тканей $W(p,q,q)$. Доказано, что ткань $W(p,q,q)$, на которой замыкаются обобщённые конфигурации Рейдемейстера или Бола, порождается действием локальной гладкой $q$-параметрической группы Ли или соответственно квазигруппы Бола на гладком $p$-мерном многообразии. Для таких тканей найдены структурные уравнения и исследованы дифференциально-геометрические свойства.