Об асимптотическом поведении одного класса случайных матричных итераций

В статье рассматриваются итерации $J_{m+1}=J_m-\varepsilon J_mL_{S_m}J_m$, $m=0,1,2,\ldots$; $\varepsilon>0$, где $J_m$ и $L_{S_m}$ — самосопряженные операторы в $\mathbb R^N$, $L_{S_m}=(\cdot,S_m)S_m$, векторы $S_m$ случайны, независимы, одинаково распределены и удовлетворяют некоторым дополнительным условиям. Начальный оператор $J_0$ неслучаен. Исследуется асимптотическое поведение оператора $\tilde{J_m}=\|J_m\|^{-1}J_m$. Задачи такого типа возникают при моделировании быстрого сна в теории нейронных сетей. Доказано, что почти наверное справедливо одно из трех соотношений: I. $\lim_{m\to\infty}\tilde{J}_m=P_{\mathcal L}$; II. $\lim_{m\to\infty}\tilde{J}_m=-P_{\xi}$; III. $J_m=0$, начиная с некоторого $m_0$, где $P_{\mathcal L}$ и $P_{\xi}$ — ортогональные проекторы соответственно на случайное подпространство $\mathcal L\subset\mathbb R^N$ и на одномерное подпространство, натянутое на случайный ненулевой вектор $\xi$. Обозначим $P_+(\varepsilon)$ и $P_-(\varepsilon)$ вероятности асимптотик I и II. В случае ненулевого неотрицательно определенного $J_0$ показано, что $\lim_{\varepsilon\to+0}P_+(\varepsilon)=1$, $\lim_{\varepsilon\to+\infty}P_-(\varepsilon)=1$; если же $J_0$ имеет хотя бы одно отрицательное собственное значение, то $P_-(\varepsilon)\equiv1$.