Локальные полугрупповые кольца

Результаты РЖМат 1984 8А240 о локальных групповых алгебрах переносятся на полугрупповые кольца над нерадикальными кольцами. Доказано следующее утверждение. Пусть $R$ —кольцо, $R\ne J(R)$, $\operatorname{char}R=0$ (соответственно $\operatorname{char}R=p>0$), $S$ —произвольная (соответственно локально конечная) полугруппа. Тогда эквивалентны следующие условия для полугруппового кольца $R[S]$: (i) $R[S]$ [скалярно] локально; (ii) кольцо $R$ [скалярно] локально, а полугруппа $S$ есть идеальное расширение прямоугольной полугруппы идемпотентов (соответственно вполне простой полугруппы над $p$-группой) при помощи локально нильпотентной полугруппы. При доказательстве используется следующий факт. Пусть $R$ —кольцо, $R\ne J(R)$, $S$ —полугруппа. Для того, чтобы полугрупповое кольцо $R[S]$ было локальным (соответственно скалярно локальным), необходимо и достаточно, чтобы кольцо $R$ само было локальным (соответственно скалярно локальным), а его фундаментальный идеал $\omega R[S]$ и идеал $J(R)[S]$ были радикальны.