Минимальный пример матрицы, различающей $\mathrm{GM}$- и $\mathrm d$-ранги в макс-алгебрах

Пусть $\mathrm{GMr}(A)$ – строчный ранг Гондрана–Мину, $\mathrm{GMc}(A)$ – столбцовый ранг Гондрана–Мину, $\mathrm d(A)$ – детерминантный ранг матрицы $A$. М. Акиан, С. Гобером и А. Гутерманом была поставлена задача найти минимальные натуральные числа $m$ и $n$, такие что существует $(m\times n)$-матрица $B$ с различными строчным и столбцовым рангами Гондрана–Мину. В настоящей работе показано, что в случае $\mathrm{GMr}(B)>\mathrm{GMc}(B)$ минимальные $m$ и $n$ равны 5 и 6, а в случае $\mathrm{GMc}(B)>\mathrm{GMr}(B)$ минимальны значения $m=6$, $n=5$. Приведён пример матрицы $A\in\mathcal M_{5\times6}(\mathbb R_\mathrm{max})$, для которой $\mathrm{GMr}(A)=\mathrm{GMc}(A^\mathrm t)=5$, $\mathrm{GMc}(A)=\mathrm{GMr}(A^\mathrm t)=4$. Также показано, что $p=5$ и $q=6$ – минимальные числа, для которых существует $(p\times q)$-матрица с различными строчным рангом Гондрана–Мину и детерминантным рангом.