Двумерные вещественные треугольные квазипредставления групп

Определение. Вещественным двумерным треугольным квазипредставлением группы $G$ назовем отображение $\Phi$ группы $G$ в $T(2,R)$ — группу вещественных треугольных матриц размерности два такое, что если
$$ \Phi (x)=\begin{pmatrix} \alpha (x) &\varphi (x) \\ 0 &\sigma(x) \end{pmatrix}, $$
то: \begin{tabular}[t]{l} 1) $\alpha,\,\sigma$ — гомоморфизмы группы $G$ в $R^*$;
2) множество $\big\{\|\Phi(xy)-\Phi(x)\Phi(y)\|;\,x,y\in G\big\}$ ограничено. \end{tabular}
Для краткости вещественное треугольное двумерное квазипредставление группы $G$ будем называть квазипредставлением, а квазипредставление с диагональными матричными элементами $\alpha$ и $\beta$ будем называть $(\alpha,\beta)$-квазипредставлением. Квазипредставление назовем нетривиальным, если оно не является представлением и неограничено. В статье устанавливается критерий существования на группе $G$ нетривиального $(\alpha,\beta)$-квазипредставления. Также доказывается, что если $G=A\ast B$ — свободное произведение конечных неединичных групп $A$ и $B$, тогда если $A\cong B\cong Z_2$, то $G$ не имеет нетривиальных квазипредставлений. Если же хотя бы одна из групп $A$ или $B$ не изоморфна $Z_2$, то для всякого гомоморфизма $\alpha$ группы $G$ в $R^*$ группа $G$ имеет нетривиальные $(\alpha,\varepsilon)$-, $(\varepsilon,\alpha)$- и $(\alpha,\alpha)$-квазипредставления. Здесь $\varepsilon$ — гомоморфизм, отображающий группу $G$ в единицу группы $R^*$.