Геометрический подход к стабильным гомотопическим группам сфер. Инварианты Адамса–Хопфа

В работе предложен геометрический подход к стабильным гомотопическим группам сфер, основанный на конструкции Понтрягина–Тома. В рамках этого подхода получено новое доказательство теоремы Адамса об инвариантах Хопфа для всех размерностей, исключая 15, 31, 63, 127. А именно, доказано, что в предположении $n>127$ в стабильной гомотопической группе сфер $\Pi_n$ не существует элементов с инвариантом Хопфа, равным 1. Новое доказательство основано на методах геометрической топологии. Используется теорема Понтрягина–Тома (в форме, предложенной Р. Уэллсом) о представлении стабильных гомотопических групп вещественного бесконечномерного проективного пространства (эти гомотопические группы эпиморфно отображаются на 2-компоненты стабильных гомотопических групп сфер по теореме Кана–Придди) классами кобордизмов погружений в коразмерности 1 замкнутых (вообще говоря, неориентированных) многообразий. Инвариант Хопфа выражается через соответствующий характеристический класс классифицирующего пространства диэдральной группы, вычисленный для многообразия самопересечения погружения коразмерности 1, которое представляет заданный элемент в стабильной гомотопической группе. В новом доказательстве используется принцип геометрического контроля погружения в заданном классе регулярной гомотопии, открытый М. Громовым на основе теоремы Смейла–Хирша о погружениях.