Статистика решений целочисленного уравнения $ax-by=\pm1$

Пусть $0<\alpha_1<\beta_1<\alpha_2<\beta_2<1$ — фиксированные числа. Для любых взаимно простых $a$ и $b$, где $\alpha_1N<a<\beta_1N$, $\alpha_2N<b<\beta_2N$, $N$ — целое положительное число, рассматривается специальное целочисленное решение уравнения $ax-by=\pm1$ и точечная мера $\mu_N$ на отрезке $[0,1]$, сосредоточенная в точках $xb^{-1}$ и равномерная на своем носителе. Доказано, что последовательность мер $\mu_N$ при $N\to\infty$ сходится к мере Лебега на $[0,1]$.