Нерегулярность роста медленно растущих целых функций

Показано, что нерегулярность роста целых трансцендентных функций $f$, удовлетворяющих условию
$$ \log M(r,f)=o(\log^2r),\qquad r\to\infty\quad (M(r,f):=\max_{|z|=r}|f(z)|), $$
возрастает с уменьшением скорости роста. В частности, если $1<p<2$, то асимптотика
$$ \log M(r,f)=\log^pr+o(\log^{2-p}r),\qquad r\to\infty, $$
невозможна. Она становится возможной при замене «$o$» на «$O$».