Канонические представления и надгруппы для гиперболоидов

Для гиперболоида $\mathcal{X}=G/H$, где $G=\operatorname{SO}_0(p,q)$, $H=\operatorname{SO}_0(p,q-1)$, мы определяем канонические представления $R_{\lambda,\nu}$, $\lambda\in\mathbb{C}$, $\nu=0,1$, как ограничение на $G$ представлений $\widetilde{R}_{\lambda,\nu}$ группы $\widetilde{G}=\operatorname{SO}_0(p+1,q)$, связанных с конусом. Они действуют на функциях на прямом произведении $\Omega$ двух сфер размерности $p-1$ и $q-1$. Это многообразие $\Omega$ содержит два экземпляра пространства $\mathcal{X}$ как открытые $G$-орбиты. Мы находим в явном виде взаимодействие операторов Ли группы $\widetilde{G}$ в $\widetilde{R}_{\lambda,\nu}$ с преобразованиями Пуассона и Фурье, связанными с каноническими представлениями. Эти преобразования — операторы, сплетающие представления $R_{\lambda,\nu}$ и представления группы $G$, связанные с конусом.