Оценки инволюции разложимых элементов комплексной банаховой алгебры

Элемент $a$ комплексной банаховой алгебры с единицей $1\mspace{-4.85mu}{\mathrm I}$ и стандартными условиями на норму ($\|ab\|\le\|a\|\cdot\|b\|$ и $\|{1\mspace{-4.85mu}{\mathrm I}}\|=1$) называется эрмитовым, если $\|e^{ita}\|=1$ для всех вещественных чисел $t$. Элемент называется разложимым, если этот элемент допускает представление $a+ib$, в котором $a$ и $b$ эрмитовы. Разложимые элементы составляют банахову алгебру Ли (относительно коммутатора). Эрмитовы компоненты определяются однозначно, и, таким образом, на этой алгебре Ли возникает естественная инволюция: $ a+ib=x\to x^{*}=a-ib $. Легко убедиться, что $\|x^{*}\|\le2\|x\|$. В работе, среди прочего, доказано, что $\|x^{*}\|\le\gamma \|x\|$, где $\gamma <2$. Фактически ситуация исследуется более детально: исходная задача включается в непрерывное семейство, параметризованное числовым радиусом элемента. Вычисление точного значения константы $\gamma $ редуцируется к вариационной задаче теории целых функций экспоненциального типа. Примерно $\gamma$ равно $1{,}92\pm 0{,}04$.