Трансляционно инвариантные асимптотические гомоморфизмы и расширения $C^*$-алгебр

Пусть $A$, $B$ — $C^*$-алгебры, $A$ сепарабельна, $B$ $\sigma$-унитальна и стабильна. Мы вводим понятие трансляционной инвариантности для асимптотических гомоморфизмов из $SA=C_0(\mathbb{R})\otimes A$ в $B$ и показываем, что конструкция Конна–Хигсона, примененная к произвольному расширению алгебры $A$ алгеброй $B$ гомотопно трансляционно инвариантному асимптотическому гомоморфизму. Мы приводим также обратную конструкцию, которая перерабатывает трансляционно инвариантные асимптотические гомоморфизмы в расширения. Основной результат заметки — совпадение гомотопических классов расширений и гомотопических классов трансляционно инвариантных асимптотических гомоморфизмов.