Точечный спектр, лежащий на непрерывном, для слабо возмущенных операторов типа Штарка

Рассмотрен одномерный оператор Шрёдингера с потенциалом, стремящимся к $-\infty$ (степенным образом). Получено условие отсутствия погруженных собственных значений при слабом возмущении потенциала. Построены контрпримеры, показывающие точность этого условия. В качестве приложения для слабо возмущенного оператора Штарка $-d^2\!/dx^2-x-q(x)$ на оси установлено, что критическим для появления погруженных собственных значений является убывание потенциала $q$ на $+\infty$ порядка $1/\sqrt x$. В частности, построен потенциал $q$, убывающий чуть медленнее, чем $1/\sqrt x$, такой, что точечный спектр соответствующего оператора Штарка плотно заполняет вещественную ось.