| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О компактификации пространств мер В. И. Богачевab a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Москва, Россия b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", Москва, Россия
Англоязычная версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324010027 
Реферативные базы данных:
 § 1. ВведениеИзучение топологии пространств мер на топологических пространствах стало весьма популярным направлением исследований на стыке функционального анализа, теории меры и общей топологии после появления классических работ А. Д. Александрова [2] и Ю. В. Прохорова [22]. Первым подробным исследованием пространств мер со слабой топологией стала известная работа В. С. Варадарайна [27]. Информативный обзор исследований последующих двух десятилетий дан в [32]. Связям с общей топологией посвящены обзорные работы [25], [26], [11], отметим также статьи [5], [12], [4], [13], в которых рассматриваются близкие к задачам данной статьи вопросы. В настоящее время эта тематика получила и освещение в монографиях [6], [7], [14], где имеется обширная библиография. Если $X$ — тихоновское топологическое пространство, то пространство $\mathcal{P}(X)$ вероятностных радоновских мер на $X$ можно наделить слабой топологией, причем $X$ гомеоморфно замкнутому подмножеству в $\mathcal{P}(X)$, состоящему из дираковских мер. В случае метризуемого пространства $X$ пространство $\mathcal{P}(X)$ также метризуемо, например, можно использовать метрику Канторовича–Рубинштейна, а для ограниченного пространства метрику Канторовича. Эту конструкцию можно итерировать и строить пространства $\mathcal{P}(\mathcal{P}(X))$, $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)))$ и т. д., что дает так называемую башню Вершика (см. [29], [30]). Еще одна полезная общая конструкция — переход от пространства $X$ к его компактификации Стоуна–Чеха $\beta X$ и далее к пространству мер $\mathcal{P}(\beta X)$. Пространство $\mathcal{P}(X)$ естественно вложено в $\mathcal{P}(\beta X)$, так как всякая вероятностная радоновская мера на $X$ однозначно продолжается до вероятностной радоновской меры на $\beta X$ (причем $X$ измеримо относительно этого продолжения). Образ $\mathcal{P}(X)$ при таком вложении всюду плотен в $\mathcal{P}(\beta X)$. Вложение $\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(\beta X)$ продолжается по непрерывности до сюръективного отображения из компакта $\beta \mathcal{P}(X)$, в котором $\mathcal{P}(X)$ всюду плотно, на компакт $\mathcal{P}(\beta X)$. В исследованиях К. А. Афонина по нелинейной задаче Канторовича оптимальной транспортировки возник вопрос об инъективности указанного продолжения, иначе говоря, о возможности переставлять операции $\beta$ компактификации Стоуна–Чеха и перехода $\mathcal{P}$ к пространству радоновских вероятностных мер. Цель данной работы — изучить этот естественный вопрос. Основной результат — отрицательный: показано, что инъективности нет для некомпактных метризуемых пространств, а также в более общем случае, когда пространство $X$ не является псевдокомпактным. Однако остается открытым вопрос о характеризации тихоновских пространств, для которых равенство верно. С другой стороны, равенство всегда верно, если вместо стоун-чеховских компактификаций брать равномерные с подходящими равномерностями (т. е. компактификации Самюэля). Поэтому $\mathcal{P}(\beta X)$ всегда является равномерной компактификацией пространства $\mathcal{P}(X)$, но для <<хороших>> некомпактных пространств никогда не совпадает со стоун-чеховской компактификацией этого пространства. § 2. Обозначения и терминологияДалее $X$ — тихоновское (или вполне регулярное) пространство, т. е. такое хаусдорфово топологическое пространство, что для всякой точки $x\in X$ и всякого открытого множества $U$, содержащего $x$, найдется непрерывная функция $f\colon X\to [0,1]$ с $f(x)=1$, равная нулю вне $U$. Символ $C_b(X)$ обозначает пространство ограниченных непрерывных функций на $X$. Неотрицательная счетно-аддитивная мера $\mu$ на борелевской $\sigma$-алгебре $\mathcal{B}(X)$ пространства $X$ называется радоновской, если для всяких $B\in \mathcal{B}(X)$ и $\varepsilon>0$ найдется такой компакт $K\subset B$, что $\mu(B\backslash K)\leqslant \varepsilon$. Ограниченная знакопеременная мера $\mu$ на $\mathcal{B}(X)$ называется радоновской, если радоновы ее положительная и отрицательная части $\mu^{+}$ и $\mu^{-}$. Пространство всех радоновских мер на $X$ обозначим через $\mathcal{M}(X)$, а через $\mathcal{P}(X)$ обозначим его подмножество, состоящее из вероятностных мер, т. е. неотрицательных мер со значением $1$ на $X$. Мера $|\mu|=\mu^{+}+\mu^{-}$ называется полной вариацией меры $\mu$. Относительно вариационной нормы $\|\mu\|=|\mu|(X)$ пространство $\mathcal{M}(X)$ банахово, а множество $\mathcal{P}(X)$ замкнуто. Вариационная норма мало связана с топологией на $X$ в отличие от слабой топологии на $\mathcal{M}(X)$, порождаемой набором полунорм
$$
\begin{equation*}
p_f(\mu)=\bigg|\int_X f\, d\mu\bigg|, \qquad f\in C_b(X).
\end{equation*}
\notag
$$
На $\mathcal{P}(X)$ индуцированная слабая топология задается полуметриками
$$
\begin{equation*}
d_f(\mu,\nu)=\bigg|\int_X f\, d\mu - \int_X f\, d\nu\bigg|, \qquad f\in C_b(X).
\end{equation*}
\notag
$$
Сходимость в слабой топологии есть просто сходимость интегралов от каждой фиксированной ограниченной непрерывной функции на $X$. Множество $\mathcal{P}(X)$ замкнуто и в слабой топологии, причем $X$ гомеоморфно вкладывается в $\mathcal{P}(X)$ посредством отображения $x\mapsto \delta_x$, где $\delta_x$ — мера Дирака в точке $x$. Если $X$ компактно, то $\mathcal{P}(X)$ компактно в слабой топологии. О радоновских мерах и слабой топологии см. [6], [7], [14]. Для метрического пространства $X$ на $\mathcal{M}(X)$ можно ввести норму Канторовича–Рубинштейна
$$
\begin{equation*}
\|\mu\|_{KR}=\sup\bigg\{ \int_X f\, d\mu\colon \ f\in \operatorname {Lip}_1, \ |f|\leqslant 1\biggr\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $ \operatorname {Lip}_1$ — множество $1$-липшицевых функций на $X$. Порождаемая этой нормой метрика $d_{KR}$ метризует слабую топологию на $\mathcal{P}(X)$, но не на всем $\mathcal{M}(X)$, см. [6], [7]. В случае ограниченного пространства используется эквивалентная норма Канторовича
$$
\begin{equation*}
\|\mu\|_{K}=|\mu(X)|+\sup\bigg\{\int_X f\, d\mu:f\in \operatorname {Lip}_1,\,f(x_0)=0 \bigg\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $x_0\in X$ — фиксированная точка. В этом случае $X$ изометрично множеству дираковских мер. В работе [1] обсуждается задание слабой топологии на $\mathcal{P}(X)$ для тихоновского пространства $X$ псевдометриками типа Канторовича–Рубинштейна (в отличие от метрики псевдометрика может обращаться в нуль вне диагонали). Непрерывная псевдометрика $d$ на $X$ порождает псевдометрику Канторовича–Рубинштейна $d_{KR,d}$ на $\mathcal{P}(X)$ по формуле
$$
\begin{equation*}
d_{KR,d}(\mu,\nu)=\sup\bigg\{ \bigg|\int_X f\, d\mu- \int_X f\, d\nu\bigg|:f\in \operatorname {Lip}_1(d),\,|f|\leqslant 1\bigg\},
\end{equation*}
\notag
$$
где $ \operatorname {Lip}_1(d)$ — множество функций на $X$, $1$-липшицевых относительно $d$. Через $\beta X$ обозначается компактификация Стоуна–Чеха пространства $X$. Напомним (см. [9] или [10]), что $\beta X$ есть компакт, в который $X$ вкладывается гомеоморфно в качестве всюду плотного подмножества, причем всякая ограниченная непрерывная функция на $X$ продолжается до непрерывной функции на $\beta X$. Более того, всякое непрерывное отображение из $X$ в компакт $K$ продолжается до непрерывного отображения из $\beta X$ в $K$. Всякая мера $\mu\in \mathcal{P}(X)$ однозначно продолжается до меры из $\mathcal{P}(\beta X)$ по формуле
$$
\begin{equation*}
\widehat{\mu}(B)=\mu(B\cap X), \qquad B\in \mathcal{B}(\beta X),
\end{equation*}
\notag
$$
так как $B\cap X\in \mathcal{B}(X)$. Это продолжение радоново, поскольку компакты из $X$ остаются компактами в компактификации. Множество $X$ не обязано быть борелевским в $\beta X$, но оно измеримо относительно пополнения продолжения, так как мера $\mu$ сосредоточена на счетном объединении компактов. Образ пространства $\mathcal{P}(X)$ при вложении в $\mathcal{P}(\beta X)$ всюду плотен, так как в $\mathcal{P}(\beta X)$ всюду плотно множество выпуклых комбинаций дираковских мер, поэтому всюду плотно множество выпуклых комбинаций дираковских мер в точках из образа пространства $X$ в $\beta X$. Из этого вытекает, что продолжение вложения $\mathcal{P}(X)\subset \mathcal{P}(\beta X)$ по непрерывности на $\beta \mathcal{P}(X)$ является сюръекцией $J\colon \beta \mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(\beta X)$. Далее для упрощения обозначений под совпадением $\beta \mathcal{P}(X)$ и $\mathcal{P}(\beta X)$ будет пониматься инъективность отображения $J$. Мне неизвестно, равносильно ли это гомеоморфности пространств $\beta \mathcal{P}(X)$ и $\mathcal{P}(\beta X)$. Как и всякое тихоновское пространство, множество $\mathcal{P}(X)$ со слабой топологией оказывается равномерным пространством (см. [10], [21]), так что можно говорить о равномерно непрерывных функциях на нем, но нас будет интересовать конкретная равномерность, порожденная указанными полунормами $p_f$, $f\in C_b(X)$. Функция $F\colon \mathcal{P}(X)\to\mathbb{R}$ равномерно непрерывна относительно такой равномерности, если для всякого $\varepsilon>0$ найдутся такие функции $f_1,\dots,f_k\in C_b(X)$ и число $\delta>0$, что
$$
\begin{equation*}
|F(\mu)-F(\nu)|<\varepsilon, \quad {если }\,d_{f_1}(\mu,\nu)+\cdots+d_{f_k}(\mu,\nu)<\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
Для общего тихоновского пространства $X$, наделенного равномерностью $\mathcal{U}$, порождающей топологию (см. [10]), вводится компактификация Самюэля $sX$ (или равномерная компактификация), см. [10; п. 8.5.7], [17] или [21]. Это компактное пространство, в которое $X$ вкладывается гомеоморфно как всюду плотное множество так, что вложение равномерно непрерывно (при наделении компакта естественной равномерностью) и всякая равномерно непрерывная относительно $\mathcal U$ ограниченная функция на $X$ продолжается до непрерывной функции на $sX$. Такая компактификация зависит от выбора равномерности $\mathcal{U}$, а не только от топологии пространства $X$. Если на $X$ взять равномерность $\mathcal{U}(C_b)$, порожденную всеми функциями из $C_b(X)$, т. е. порожденную псевдометриками вида $|f(x)-f(y)|$, $f\in C_b(X)$, то $s X=\beta X$. Равномерность $\mathcal{U}$ порождает равномерность $\mathcal{U}_{\mathcal P}$ на пространстве $\mathcal{P}(X)$ посредством псевдометрик $d_f$, где $f$ — функция из пространства $C_{b,u}(X)$ ограниченных равномерно непрерывных относительно $\mathcal{U}$ функций. Например, в случае $\mathcal{U}(C_b)$ это равномерность $\mathcal{U}(C_b)_{\mathcal P}$, порожденная псевдометриками $d_f$ со всеми функциями $f$ из $C_b(X)$. Таким образом, возникает компактификация $s\mathcal{P}(X)$, соответствующая равномерности $\mathcal{U}_{\mathcal P}$. При этом равномерность $\mathcal{U}(C_b)_{\mathcal P}$ представляет собой сужение на $\mathcal{P}(X)$ равномерности $\mathcal{U}_{s\mathcal P}$ на пространстве $s\mathcal{P}(X)$, порожденной теми же псевдометриками $d_f$ с $f\in C_b(X)$, продолженными по непрерывности на $s\mathcal{P}$. Вообще говоря, не всегда равномерность на пространстве продолжается на его равномерную компактификацию, но для $\mathcal{U}_{\mathcal P}$ это верно, причем сужение всякой функции $F\in C_b(s \mathcal{P}(X))$ на $\mathcal{P}(X)$ входит в $C_{b,u}(\mathcal{P}(X))$, поскольку функция $F$ равномерно непрерывна относительно $\mathcal{U}_{s\mathcal P}$ в силу компактности пространства $s \mathcal{P}(X)$. Компактификацию Самюэля можно строить аналогично компактификации Стоуна–Чеха, взяв в компакте $[0,1]^S$, где $S$ — множество всех равномерно непрерывных функций из $X$ в $[0,1]$, замыкание образа пространства $X$ при его естественном вложении в это произведение (для компактификации Стоуна–Чеха в качестве $S$ берется более широкое множество всех непрерывных функций из $X$ в $[0,1]$). Свойствам компактификации Самюэля метрических пространств посвящена работа [34]. Компактификация Самюэля будет рассмотрена в замечании 2, но используемые в ней равномерно непрерывные функции играют основную роль в доказательствах ниже. А именно будет использовано следующее очевидное соображение. Лемма 1. Компакты $\beta \mathcal{P}(X)$ и $\mathcal{P}(\beta X)$ различны в точности тогда, когда на $\mathcal{P}(X)$ существует ограниченная непрерывная функция, не являющаяся равномерно непрерывной относительно равномерности $\mathcal{U}(C_b)_{\mathcal{P}}$, заданной семейством непрерывных функций на $\mathcal{P}(X)$, порожденных интегралами от функций из $C_b(X)$. Доказательство. Пусть всякая ограниченная непрерывная функция $F$ на $\mathcal{P}(X)$ равномерно непрерывна относительно указанной равномерности. Тогда функция $F$ продолжается по непрерывности на замыкание пространства $\mathcal{P}(X)$ в компакте $\mathcal{P}(\beta X)$, в который $\mathcal{P}(X)$ вложено как всюду плотное подмножество (см. [10; теорема 8.3.10]). Поэтому $F$ продолжается по непрерывности на все $\mathcal{P}(\beta X)$. Известная характеризация стоун-чеховской компактификации говорит, что $\mathcal{P}(\beta X)$ и есть такая компактификация пространства $\mathcal{P}(X)$, т. е. $\beta \mathcal{P}(X)=\mathcal{P}(\beta X)$. Верно и обратное, поскольку непрерывные функции на $\mathcal{P}(\beta X)$ равномерно непрерывны относительно равномерности $\mathcal{U}(C_b)_{\mathcal{P}}$. $\Box$ Можно также сказать, что компактификация $\beta\mathcal{P}(X)$ не совпадает с $\mathcal{P}(\beta X)$ в точности тогда, когда найдутся ограниченная непрерывная функция $F$ на $\mathcal{P}(X)$ и две направленности мер $p_\alpha$ и $q_\alpha$ в $\mathcal{P}(X)$, такие, что направленности $F(p_\alpha)$ и $F(q_\alpha)$ имеют разные пределы, а интегралы от всякой функции $f\in C_b(X)$ по мерам $p_\alpha$ и $q_\alpha$ имеют общий предел. Иначе говоря, точки пространства $\beta\mathcal{P}(X)$ не разделяются функциями, полученными продолжениями по непрерывности функций на $\mathcal{P}(X)$, задаваемых как интегралы от функций из $C_b(X)$. Поскольку меры из компакта $\mathcal{P}(\beta X)$ разделяются функциями вида
$$
\begin{equation*}
\psi(l_1(\mu),\dots,l_n(\mu)), \quad l_i(\mu)=\int f_i\, d\mu, \quad f_i\in C_b(\beta X),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\psi$ — многочлен на $\mathbb{R}^n$, то из теоремы Стоуна–Вейерштрасса получаем еще одну равносильную характеризацию равенства $\beta \mathcal{P}(X)=\mathcal{P}(\beta X)$. Следствие 1. Равенство $\beta \mathcal{P}(X)=\mathcal{P}(\beta X)$ равносильно тому, что всякая ограниченная непрерывная функция на $\mathcal{P}(X)$ равномерно приближается многочленами от линейных функционалов на пространстве мер, задаваемых интегралами от функций из $C_b(X)$. Подчеркнем, что в лемме использована равномерность на пространстве мер, порожденная интегралами от функций из $C_b(X)$, а не всеми ограниченными непрерывными функциями на $\mathcal{P}(X)$. § 3. Основные результатыПервый основной результат состоит в следующем. Теорема 1. Продолжение естественного вложения $\mathcal{P}(\mathbb{N})\to \mathcal{P}(\beta \mathbb{N})$ по непрерывности на $\beta \mathcal{P}(\mathbb{N})$ не является инъективным, т. е. $\beta \mathcal{P}(\mathbb{N})\not= \mathcal{P}(\beta \mathbb{N})$. Доказательство. Пространство $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ можно отождествить с подмножеством $\mathcal{P}$ единичной сферы в банаховом пространстве $l^1$, состоящим из неотрицательных последовательностей. При таком отождествлении слабая топология на $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ соответствует слабой топологии в $l^1$, причем последняя на множестве $\mathcal{P}$ порождается обычной нормой в $l^1$. Отметим, что норма в $l^1$ эквивалентна норме Канторовича–Рубинштейна на $\mathcal{M}(\mathbb{N})$, так как функция $f$ на $\mathbb{N}$ с $|f|\leqslant 1$ липшицева с постоянной $2$.
Если бы имело место совпадение $\mathcal{P}(\beta \mathbb{N})$ и $\beta \mathcal{P}(\mathbb{N})$, то по доказанной выше лемме все ограниченные непрерывные функции на $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ были бы равномерно непрерывны относительно равномерности $\mathcal{U}(C_b)_{\mathcal{P}}$, порожденной псевдометриками $d_f$, где $f\in C_b(\mathbb{N})$. Тогда все такие функции были бы равномерно непрерывны относительно метрики из $l^1$, ибо всякая псевдометрика $d_f$ оценивается с константой через метрику на $l^1$. Итак, сделанное допущение приводит к выводу, что ограниченные непрерывные функции на множестве $\mathcal{P}$ в $l^1$ равномерно непрерывны относительно обычной метрики на $l^1$. Однако это неверно, поскольку полное метрическое пространство $\mathcal{P}$ некомпактно и не имеет изолированных точек. Например, можно просто взять пары точек $x_n$, $y_n\in \mathcal{P}$, где $x_n$ имеет все нулевые компоненты, кроме $1$ на месте $n$, а все компоненты элемента $y_n$ нулевые, кроме $1-1/n$ на месте $n$ и $1/n$ на месте $n+1$. Множество таких пар замкнуто и дискретно (т. е. всякая точка имеет окрестность, в которой не более одной точки данного множества), функция $F$, равная $1$ в точках $x_n$ и $0$ в точках $y_n$, не является равномерно непрерывной, но продолжается до ограниченной непрерывной функции на $\mathcal{P}$. $\Box$ Ниже в теореме 2 приведен более общий результат, использующий близкую идею и охватывающий более широкий класс пространств. Напомним (см. [10; теорема 3.10.3]), что тихоновское пространство счетно компактно, если всякое счетное подмножество в нем имеет предельную точку (т. е. такую точку, что во всякой ее окрестности есть бесконечно много точек этого подмножества). Это равносильно тому, что всякое счетное открытое покрытие данного пространства имеет конечное подпокрытие. Замкнутые подмножества счетно компактных пространств счетно компактны. Пространство $X$ не является счетно компактным, если оно содержит счетное дискретное замкнутое подпространство, т. е. $\mathbb{N}$ гомеоморфно вкладывается в $X$ как замкнутое подмножество. Следствие 2. Пусть тихоновское пространство $X$ не счетно компактно, а пространство $\mathcal{P}(X)$ нормально. Тогда продолжение естественного вложения $\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(\beta X)$ по непрерывности на $\beta \mathcal{P}(X)$ не является инъективным, т. е. $\beta \mathcal{P}(X)\not= \mathcal{P}(\beta X)$. Доказательство. В самом деле, пусть вложение $\mathcal{P}(X)\to \mathcal{P}(\beta X)$ продолжается до гомеоморфизма $h$ компактов $\beta \mathcal{P}(X)$ и $\mathcal{P}(\beta X)$. Возьмем в $X$ счетное дискретное замкнутое подпространство $Z$, гомеоморфное $\mathbb{N}$. Покажем, что $h$ осуществляет гомеоморфизм $\beta \mathcal{P}(Z)$ и $\mathcal{P}(\beta Z)$, что дает противоречие с теоремой. Множество $\mathcal{P}(Z)$ замкнуто в $\mathcal{P}(X)$, поэтому если $\mathcal{P}(X)$ нормально, то $\beta \mathcal{P}(Z)$ совпадает с замыканием множества $\mathcal{P}(Z)$ в $\beta \mathcal{P}(X)$, см. [10; следствие 3.6.8]. В силу предполагаемого равенства $\beta \mathcal{P}(X)= \mathcal{P}(\beta X)$ множество $\beta \mathcal{P}(Z)$ совпадает с замыканием множества $\mathcal{P}(Z)$ в $\mathcal{P}(\beta X)$. Однако $\mathcal{P}(Z)$ лежит в компакте $\mathcal{P}(\beta Z)$ и всюду плотно в нем. Значит, $\mathcal{P}(\beta Z)$ и есть это замыкание. Таким образом, $\beta \mathcal{P}(Z)=\mathcal{P}(\beta Z)$. $\Box$ Некомпактное метрическое пространство $X$ не счетно компактно. При этом пространство $\mathcal{P}(X)$ также метризуемо и потому нормально. Это дает такое утверждение. Следствие 3. Если пространство $X$ метризуемо, то равенство $\beta \mathcal{P}(X)=\mathcal{P}(\beta X)$ равносильно его компактности. Напомним, что суслинские пространства — образы полных сепарабельных метрических пространств при непрерывных отображениях. Для суслинских тихоновских пространств счетная компактность равносильна компактности. Следствие 4. Если $X$ — суслинское тихоновское пространство, то равенство $\beta \mathcal{P}(X)=\mathcal{P}(\beta X)$ равносильно его компактности. Доказательство. Пространство $\mathcal{P}(X)$ в этом случае также является суслинским тихоновским, поэтому оно нормально (см. [6; теорема 8.9.6 и теорема 6.7.7]). $\Box$ Пример 1. Если счетное тихоновское пространство $X$ некомпактно, то $\beta \mathcal{P}(X)\ne\mathcal{P}(\beta X)$. Известно (см. [18]), что если тихоновское пространство $X$ паракомпактно (во всякое открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие) и полно по Чеху (т. е. $\beta X\backslash X$ есть счетное объединение замкнутых множеств), то $\mathcal{P}(X)$ также паракомпактно и потому нормально. Поскольку для паракомпактных пространств счетная компактность равносильна компактности (см. [10; теорема 5.1.20]), получаем такое утверждение. Следствие 5. Если тихоновское пространство $X$ паракомпактно и полно по Чеху, то равенство $\beta \mathcal{P}(X)=\mathcal{P}(\beta X)$ равносильно его компактности. Отметим, что если пространство $\mathcal{P}(X)$ нормально, то само $X$ тоже нормально, но обратное неверно: существуют такие нормальные пространства $X$, что $X^2$ не является нормальным (скажем, прямая Зоргенфрея, см. [10; пример 2.3.12]), тогда $\mathcal{P}(X)$ не является нормальным, ибо содержит подпространство, гомеоморфное $X^\infty$ (см. [16], [18] или [7; предложение 5.1.4]), а также замкнутое подпространство, гомеоморфное $X^2$. По этой же причине счетная компактность пространства $X$ не влечет счетную компактность $\mathcal{P}(X)$, так как есть пример счетно компактного пространства $X$, для которого $X^2$ не счетно компактно (см. [15; пример 9.15]). Нормальное пространство $X$ счетно компактно в точности тогда, когда оно псевдокомпактно, т. е. все непрерывные функции на $X$ ограничены (без условия нормальности это более слабое свойство). Псевдокомпактность тихоновского пространства равносильна отсутствию в нем счетных замкнутых дискретных подмножеств, на которых все непрерывные функции имеют непрерывные продолжения на все пространство (см. [15; следствие 1.21]). Следующее утверждение обобщает предыдущие результаты. Теорема 2. Если тихоновское пространство $X$ таково, что $\beta \mathcal{P}(X)= \mathcal{P}(\beta X)$, то $\mathcal{P}(X)$ псевдокомпактно. Кроме того, само $X$ также псевдокомпактно. Доказательство. Предположим, что существует неограниченная непре- рывная функция $F$ на $\mathcal{P}(X)$. Тогда можно найти меры $\mu_n\in \mathcal{P}(X)$ с $F(\mu_{n+1})> F(\mu_{n})+1$. Множества открыты в $\mathcal{P}(X)$, содержащие их множества замкнуты и дизъюнктны. Кроме того, всякая мера имеет окрестность, пересекающуюся не более чем с одним из $Z_n$, ибо в некоторой ее окрестности функция $F$ ограничена и в самой точке непрерывна. В частности, множество $\bigcup_{n=1}^\infty Z_n$ также замкнуто.
Найдутся меры $\nu_n\in U_n$, отличные от $\mu_n$, для которых $\|\mu_n-\nu_n\|\leqslant n^{-1}$. В самом деле, можно считать, что $X$ несчетно, поэтому есть точка $x_0\in X$, не являющаяся атомом мер $\mu_n$. Тогда в качестве $\nu_n$ можно взять меру $(1-\varepsilon_n)\mu_n +\varepsilon_n \delta_{x_0}$ при достаточно малом $\varepsilon_n\in (0,1)$. Конечно, для счетного $X$ возможна аналогичная конструкция с возмущением атомов. Поскольку пространство $\mathcal{P}(X)$ вполне регулярно, найдутся непрерывные функции $\psi_n$ на $\mathcal{P}(X)$ со следующими свойствами: $0\leqslant \psi_n\leqslant 1$, $\psi_n(\mu_n)=1$, $\psi_n(\nu_n)=0$, $\psi_n=0$ вне $U_n$. Тогда в силу указанных свойств множеств $Z_n$ функция $\Psi=\sum_{n=1}^\infty \psi_n$ также непрерывна и ограничена, но не является равномерно непрерывной в равномерности, индуцированной $\mathcal{U}(C_b)_\mathcal{P}$, ибо равномерной непрерывности нет даже по вариации. Теперь покажем, что псевдокомпактность пространства $\mathcal{P}(X)$ влечет псевдокомпактность пространства $X$ безотносительно изучаемого нами равенства. Предположим, что на $X$ есть неограниченная непрерывная функция $\psi$. Тогда найдется бесконечная последовательность точек $x_n\in X$ с $\psi(x_{n+1})\geqslant \psi(x_n)+1$. Возьмем непрерывную псевдометрику $d(x,y)=|\psi(x)-\psi(y)|$ на $X$ и порожденную ей псевдометрику Канторовича–Рубинштейна $d_{KR,d}$ на $\mathcal{P}(X)$. Для мер Дирака в точках $x_n$ получаем $d_{KR,d}(\delta_{x_n},\delta_{x_k})\geqslant 1$ при $n\not=k$, ибо в качестве $f$ в определении псевдометрики $d_{KR,d}$ можно взять функцию $f(x)=\min(1, d(x,x_k))$. Значит, пространство $\mathcal{P}(X)$ не является вполне ограниченным относительно псевдометрики $d_{KR,d}$. Тогда на соответствующем метрическом факторпространстве есть неограниченная непрерывная функция. Ее композиция с каноническим отображением на факторпространство дает неограниченную непрерывную функцию на $\mathcal{P}(X)$, что приводит к противоречию. $\Box$ Отметим, что если $\beta \mathcal{P}(X)\not=\mathcal{P}(\beta X)$ для некоторого пространства $X$, то
$$
\begin{equation*}
\beta \mathcal{P}(X\times Y)\not=\mathcal{P}(\beta (X\times Y))
\end{equation*}
\notag
$$
для всякого непустого тихоновского пространства $Y$, так как на $\mathcal{P}(X)$ найдется ограниченная непрерывная функция $F$, не являющаяся равномерно непрерывной в указанной равномерности, что дает аналогичную функцию на $\mathcal{P}(X\times Y)$ после вложения $\mathcal{P}(X)$ в $\mathcal{P}(X\times Y)$ посредством отображения $\mu\mapsto \mu\otimes \delta_{y_0}$, где $\delta_{y_0}$ — мера Дирака в фиксированной точке $y_0\in Y$. Если же $Z$ — тихоновское пространство, в котором $X$ является замкнутым подпространством, причем $\mathcal{P}(Z)$ нормально, то $\beta \mathcal{P}(Z)\not=\mathcal{P}(\beta Z)$. Для этого достаточно заметить, что $\mathcal{P}(X)$ замкнуто в $\mathcal{P}(Z)$. Если пространство $X$ содержит не псевдокомпактное подпространство, которое открыто и замкнуто, то $X$ тоже не псевдокомпактно и потому $\beta\mathcal{P}(X)\not=\mathcal{P}(\beta X)$. Приведем пример некомпактного пространства $X$ с $\beta \mathcal{P}(X)= \mathcal{P}(\beta X)$. В качестве $X$ возьмем промежуток ординалов $[0,\omega_1)$ до первого несчетного ординала $\omega_1$, наделенный порядковой топологией. Это локально компактное счетно компактное нормальное пространство с компактификацией Стоуна–Чеха $[0,\omega_1]$, причем компакты в нем не более чем счетны (см. [3], [10], [31]). Сначала установим некоторые свойства пространства мер на $X$. Предложение 1. (i) Для всякого $\kappa <\omega_1$ пространство $\mathcal{P}([0,\kappa])$ является метризуемым компактом. (ii) Пространство $\mathcal{P}([0,\omega_1))$ счетно компактно. (iii) Всякая секвенциально непрерывная функция на пространстве $\mathcal{P}([0,\omega_1))$ непрерывна и ограничена. Кроме того, такая функция равномерно непрерывна относительно расстояния по вариации. Доказательство. (i) Отрезок $[0,\kappa]$ является счетным метризуемым компактом $\{\kappa_n\}$, поэтому метризуемым компактом оказывается и пространство $\mathcal{P}([0,\kappa])$.
(ii) Всякая последовательность мер на $[0,\omega_1)$ сосредоточена на общем счетном отрезке. (iii) Пусть функция $F$ на $\mathcal{P}([0,\omega_1))$ секвенциально непрерывна. Покажем, что она непрерывна. Тогда ограниченность будет следовать из счетной компактности. Проверку непрерывности достаточно провести в предположении, что функция $F$ ограничена, перейдя к $\operatorname{arctg} F$. Сначала проверим равномерную непрерывность функции $F$ относительно расстояния по вариации. Если она нарушена, то при некотором $\varepsilon>0$ найдутся две последовательности мер $\mu_n$ и $\nu_n$ с $\|\mu_n-\nu_n\|\to 0$ и $|F(\mu_n)-F(\nu_n)|\geqslant \varepsilon$. Все эти меры сосредоточены на общем счетном множестве, поэтому они сосредоточены на компакте $[0,\kappa]$ с некоторым $\kappa <\omega_1$. Это приводит к противоречию, ибо на метрическом компакте секвенциально непрерывная функция равномерно непрерывна, а функция $F$ на $\mathcal{P}([0,\kappa])$ не является равномерно непрерывной даже относительно расстояния по вариации. Зафиксируем меру $\mu_0\in \mathcal{P}([0,\omega_1))$ и проверим непрерывность функции $F$ в $\mu_0$. Пусть направленность мер $\mu_\alpha$ сходится к $\mu_0$ и $\varepsilon>0$. Как показано выше, найдется такое $\delta\in (0,1/8)$, что $|F(\mu)-F(\nu)|\leqslant \varepsilon/2$ при $\|\mu-\nu\|\leqslant 2\delta$. Можно считать, что $F(\mu_0)=0$. Мера $\mu_0$ сосредоточена на некотором счетном отрезке $[0,\kappa]$, причем можно взять $\kappa$ так, что $\mu_0(\kappa)=0$. Для всех индексов $\alpha$, превосходящих некоторый индекс $\alpha_0$, имеем $\mu_\alpha ([0,\kappa])> 1-\delta$. Далее считаем, что $\alpha\geqslant \alpha_0$. Легко видеть, что меры сходятся к $\mu_0$. Заметим, что $\|\mu_\alpha-\nu_\alpha\|\leqslant 2\delta$. Поэтому $|F(\mu_\alpha)-F(\nu_\alpha)|\leqslant \varepsilon/2$. Ограничение функции $F$ на метризуемый компакт $\mathcal{P}([0,\kappa])$ непрерывно, значит, $\lim_\alpha F(\nu_\alpha)=0$, откуда получаем $|F(\mu_\alpha)|\leqslant \varepsilon$ при $\alpha\geqslant \alpha_1$ с некоторым $\alpha_1>\alpha_0$. $\Box$Предложение 2. Для пространства $X=[0,\omega_1)$ верно равенство $\beta \mathcal{P}(X)=\mathcal{P}(\beta X)$. Доказательство. Покажем, что всякая ограниченная непрерывная функция $F$ на $\mathcal{P}(X)$ имеет непрерывное продолжение на $\mathcal{P}(\beta X)$.
Сначала мы установим следующий аналог известного свойства всякой непрерывной функции $f$ на $[0,\omega_1)$: найдутся такие счетный ординал $\alpha_0$ и число $c$, что $f(\alpha)=c$ при $\alpha\geqslant \alpha_0$, см. [10; с. 206]. А именно покажем, что для всякого счетного ординала $\beta$ найдется счетный ординал $\gamma>\beta$ с таким свойством: при фиксированных мере $\sigma$ с носителем в $[0,\beta]$ и $\tau\in [0,1]$ функция $\nu\mapsto F(\tau \sigma+(1-\tau)\nu)$ постоянна на множестве мер с носителем в $[\gamma, \omega_1)$ и принимает значение $F(\tau \sigma+(1-\tau)\delta_\gamma)$. Зафиксируем $\sigma$, $n$ и рациональные числа $r\in [0,1]$, $r_1,\dots, r_n\geqslant 0$ с $r_1+\cdots+r_n=1-r$ и покажем, что найдутся такие счетный ординал $\alpha_n(\sigma, r,r_1,\dots,r_n)$ и число $c_n(\sigma,r,r_1,\dots,r_n)$, что
$$
\begin{equation}
F(r\sigma+ r_1\delta_{x_1}+\cdots + r_n\delta_{x_n})=c_n(\sigma, r, r_1,\dots,r_n)
\end{equation}
\tag{1}
$$
для всех $x_i\geqslant \alpha_n(\sigma,r,r_1,\dots,r_n)$. Для этого покажем, что для всякого $k\in\mathbb{N}$ найдется счетный ординал $\alpha_n^k(\sigma,r,r_1,\dots,r_n)>\beta$, для которого
$$
\begin{equation*}
|F(r\sigma+r_1\delta_{x_1}+\cdots + r_n\delta_{x_n})-F(r\sigma+r_1\delta_{y_1}+\cdots + r_n\delta_{y_n})|\leqslant k^{-1}
\end{equation*}
\notag
$$
при $x_i\geqslant \alpha_n^k(\sigma,r,r_1,\dots,r_n)$, $y_i\geqslant \alpha_n^k(\sigma,r,r_1,\dots,r_n)$. В противном случае при каждом $i=1,\dots,n$ по индукции можно построить возрастающие счетные ординалы $x_i^j$ и $y_i^j$, большие $\beta$, для которых $x_l^{j+1}> x_i^j$, $x_l^{j+1}> y_i^j$, $y_l^{j+1}> y_i^j$, $y_l^{j+1}> x_i^j$ при всех $i,l=1,\dots,n$, причем
$$
\begin{equation*}
|F(r\sigma+r_1\delta_{x_1^j}+\cdots + r_n\delta_{x_n^j})-F(r\sigma+r_1\delta_{y_1^j}+\cdots + r_n\delta_{y_n^j})|> k^{-1} \quad \forall\, j.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $z_i:=\sup_j x_i^j=\sup_j y_i^j$ при $i=1,\dots,n$ и последовательности $\{x_i^j\}$ и $\{y_i^j\}$ имеют предел $z_i$ при $j\to\infty$. Это противоречит непрерывности $F$ в точке $r\sigma+r_1\delta_{z_1}+\cdots + r_n\delta_{z_n}$. Теперь в качестве искомого ординала $\alpha_n(\sigma,r,r_1,\dots,r_n)$ можно взять $\alpha_n(\sigma,r,r_1,\dots,r_n)=\sup_k \alpha_n^k(\sigma,r,r_1,\dots,r_n)$.
В пространстве мер $\mathcal{P}([0,\beta])$ с носителем в $[0,\beta]$ есть счетное всюду плотное множество $\{\sigma_j\}$; можно взять конечные выпуклые рациональные комбинации дираковских мер в точках счетного множества $[0,\beta]$. Возьмем счетный ординал $\alpha_n=\sup \alpha_n(\sigma_j,r,r_1,\dots,r_n)$, где $\sup$ берется по всем мерам $\sigma_j$ и всем наборам рациональных чисел $r,r_1,\dots,r_n$ из $[0,1]$ с $r_1+\cdots+r_n=1-r$. Тогда равенство (1) выполнено при всех $\sigma=\sigma_j$, всех $x_i\geqslant \alpha_n$ и всех рациональных $r,r_i$ с указанными ограничениями. Если брать $x_1=\cdots=x_n=\alpha_n$, то получаем $c_n(\sigma,r,r_1,\dots,r_n)=F(r\sigma+ (1-r)\delta_{\alpha_n})$ для всех $\sigma=\sigma_j$, где правая часть непрерывна по $\sigma$ в силу непрерывности функции $F$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
F(r\sigma+ r_1\delta_{x_1}+\cdots + r_n\delta_{x_n})=F(r\sigma+ (1-r)\delta_{\alpha_n}),
\end{equation*}
\notag
$$
если носитель $\sigma$ лежит в $[0,\beta]$, $x_j\geqslant \alpha_n$. Еще раз используя непрерывность функции $F$, заключаем, что равенство верно для всех $r\in [0,1]$ и $r_i\geqslant 0$ с $r_1+\cdots+r_n=1-r$. Из этого равенства следует также, что
$$
\begin{equation*}
F(r\sigma+ (1-r)\delta_{\alpha_n})=F(r\sigma+ (1-r)\delta_{\kappa})
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $\kappa\geqslant \alpha_n$. Для счетного ординала $\gamma=\sup_n \alpha_n$ установленное равенство верно при всех $n$, если $x_i\geqslant \gamma$, $y_i\geqslant \gamma$, $r\in [0,1]$, $r_i\geqslant 0$ и $r_1+\cdots+r_n=1-r$. Поскольку функция $F$ непрерывна, а выпуклые комбинации мер Дирака в точках из $[\gamma, \omega_1)$ плотны в множестве вероятностных мер с носителем в $[\gamma, \omega_1)$, то приходим к следующему заключению:
$$
\begin{equation}
F(\tau \sigma+(1-\tau)\nu)=F(\tau \sigma+(1-\tau)\delta_\gamma)\qquad \forall\, \tau\in [0,1], \;\sigma\in \mathcal{P}([0,\beta]), \;\nu \in \mathcal{P}([\gamma,\omega_1)).
\end{equation}
\tag{2}
$$
Проверим, что если направленность мер $\mu_t\in \mathcal{P}([0,\omega_1))$ сходится в $\mathcal{P}([0,\omega_1])$ к мере $\mu=\tau\sigma + (1-\tau)\delta_{\omega_1}$, где $\tau\in [0,1]$, $\sigma\in \mathcal{P}(X)$ имеет носитель в отрезке $[0,\beta]$, $\beta<\omega_1$, то направленность значений $F(\mu_t)$ имеет предел, равный $L:=F(\tau \sigma+(1-\tau)\delta_\gamma)$, где $\gamma$ — выбранный выше по $\beta$ ординал. Это и даст искомое непрерывное продолжение функции $F$ (см. [3; с. 93, задача 288, §4, гл. II]). Зафиксируем $\varepsilon>0$ и покажем, что $|F(\mu_t)-L|\leqslant \varepsilon$ для всех достаточно больших индексов $t$. Ограничения мер $\mu_t$ на $[0,\beta]$, обозначаемые через $\mu_t^\beta$, сходятся к мере $\tau\sigma$, ибо всякую ограниченную непрерывную функцию на $[0,\beta]$ можно продолжить нулем (или иной константой) до ограниченной непрерывной функции на $[0,\omega_1]$. В частности, $\mu_t([0,\beta])\to \tau$. Возьмем $\gamma>\beta$, для которого выполнено (2). Заменив $\gamma$ на $\gamma+1$, можно считать $\gamma$ изолированной точкой, тогда $\mu_t([\gamma, \omega_1])\to 1-\tau$. Так как функция $F$ равномерно непрерывна по вариации в силу предыдущего предложения, то найдется такое $\delta>0$, что если $\|\mu_1-\mu_2\|\leqslant \delta$, то $|F(\mu_1)-F(\mu_2)|\leqslant \varepsilon/2$. Для всех достаточно больших индексов $t$ верна оценка $\mu_t((\beta,\gamma))<\delta/2$. Положим
$$
\begin{equation*}
\nu_t=\mu_t^\beta+ I_{[\gamma,\omega_1)}\mu_t + c(t)\delta_{\gamma},
\end{equation*}
\notag
$$
где $c(t)=\mu_t((\beta,\gamma))<\delta/2$. Тогда $\|\mu_t-\nu_t\|\leqslant \delta$, значит, $|F(\mu_t)-F(\nu_t)|\leqslant \varepsilon/2$. При этом $\nu_t((\beta,\gamma))=0$, так что в силу (2) для $\tau_t=\mu_t([0,\beta])$ имеем Таким образом, $|F(\mu_t)-L|\leqslant \varepsilon$ для достаточно больших $t$. $\Box$ Замечание 1. В силу следствия 1 и предложения 2 всякая функция $F\in C_b(\mathcal{P}([0,\omega_1))$ равномерно приближается функциями вида $p_j(l_1(\mu),\dots,l_n(\mu))$, где $p_j$ — многочлен на $\mathbb{R}^n$, $l_i(\mu)$ — интеграл по $\mu$ от некоторой функции $f_i\in C_b([0,\omega_1))$. Функции $f_i$ постоянны вне некоторого общего отрезка $[0,\beta]$, $\beta<\omega_1$. Значит, функция $F$ имеет вид $G(\mu^\beta)$, где $\mu^\beta$ — сужение меры $\mu$ на $[0,\beta]$, $G$ — ограниченная непрерывная функция на компактном множестве мер вида $c \nu$, $\nu\in \mathcal{P}([0,\beta])$, $c\in [0,1]$. Приведем пример не счетного компактного пространства с интересующим нас равенством. Плоскостью Тихонова (или плоскостью Тихонова с выколотой точкой) называют пространство $T=[0,\omega_1]\times [0,\omega_0]\backslash (\omega_1,\omega_0)$, где $\omega_0$ — первый счетный ординал. Известно (см. [10; п. 3.12.19] или [15; п. 8.2]), что $\beta T=[0,\omega_1]\times [0,\omega_0]$, причем $T$ не счетно компактно, ибо последовательность $(\omega_1,n)$ не имеет предельных точек. Меры из $\mathcal{P}(T)$ сосредоточены на счетных множествах, ибо компакты в $[0,\omega_1)\times [0,\omega_0]$ счетны и $\{\omega_1\}\times [0,\omega_0]$ счетно. Доказательство. Обоснование аналогично предложению 2. Положим $T_\tau=[0,\tau]\times [0,\omega_0]$ и обозначим через $\mu^\tau$ сужение меры $\mu$ на $T_\tau$, а через $\pi(\mu)$ ее проекцию на $[0,\omega_0]$. Сначала проверяем, что для всякого счетного ординала $\beta$ найдется такой изолированный счетный ординал $\tau=\tau(\beta)$, что для всякой фиксированной меры $\sigma\in \mathcal{P}([0,\beta]\times [0,\omega_0])$ и каждого фиксированного $t\in [0,1]$ функция $\nu \mapsto F(t\sigma +(1-t)\nu)$ на множестве мер с носителем в $[\tau, \omega_1]\times [0,\omega_0]$ имеет вид Для этого опять находим такой ординал $\tau(t,\nu_m, r_{i,j})$ для фиксированных рациональных $t,r_{i,j}\in [0,1]$, где $i,j\leqslant n$ и $\sum_{i,j} r_{i,j}=1$, и фиксированной меры $\nu_m$ из счетного всюду плотного множества в метризуемом компакте $\mathcal{P}(T_\beta)$, что функция переменных $x_i\in [0,\omega_1]$ не меняет значений, когда проекции переменных на первый сомножитель превышают ординал $\tau(t,\nu_m, r_{i,j})$. Таким образом, при $x_i\geqslant \tau$ она равна где $\nu=\sum_{i,j\leqslant n} r_{i,j}\delta_{(x_i,j)}$. Затем берем изолированную мажоранту $\tau$ полученного счетного набора ординалов. Нужное свойство вытекает из того, что указанные выпуклые комбинации всюду плотны в множестве мер с носителями в объединении $T_\beta \cup [\tau, \omega_1]\times [0,\omega_0]$.
Кроме того, функция $F$ равномерно непрерывна относительно нормы полной вариации. В самом деле, в противном случае в $\mathcal{P}(T)$ найдутся две последовательности мер $\mu_n$ и $\nu_n$ с $\|\mu_n-\nu_n\|\leqslant 1/n$ и $F(\mu_n)-F(\nu_n)\geqslant c>0$. Ограничения всех этих мер на $[0,\omega_1)\times [0,\omega_0]$ сосредоточены на $T_\beta$ с некоторым общим $\beta<\omega_1$. Для соответствующего счетного ординала $\tau=\tau(\beta)>\beta$ получаем, что $F(\mu_n)=F(\mu_n^\beta+ \delta_{\tau}\otimes \pi(\mu_n-\mu_n^\beta))$ и аналогично для $\nu_n$. Из последовательности мер $\mu_n^\beta + \delta_{\tau}\otimes \pi(\mu_n-\mu_n^\beta)$ на метризуемом компакте $T_\tau$ можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность. Соответствующая подпоследовательность в $\{\nu_n\}$ имеет тот же предел, ибо $\|\mu_n^\beta-\nu_n^\beta\|\to 0$, что противоречит непрерывности $F$. Пусть направленность мер $\mu_\alpha\in \mathcal{P}(T)$ слабо сходится на $[0,\omega_1]\times [0,\omega_0] $ к некоторой мере $\mu=t\sigma +(1-t)\delta_p$, $\sigma\in \mathcal{P}(T)$, $p=(\omega_1,\omega_0)$. Если $t=0$, то это разложение неоднозначно, тогда в качестве $\sigma$ берем меру Дирака в $(0,0)$. Зафиксируем $\varepsilon>0$. Найдется такое $\delta>0$, что $|F(\nu_1)-F(\nu_2)|<\varepsilon$ при $\|\nu_1-\nu_2\|< \delta$. Мера $\sigma$ сосредоточена на счетном множестве, расположенном на объединении $\{\omega_1\}\times [0,\omega_0)$ и $T_\beta$ с некоторым изолированным $\beta<\omega_1$. Пусть $\tau>\beta$ — указанный выше изолированный ординал. Имеем $\mu([\beta+1, \tau]\times [0,\omega_0])=0$. Поэтому получаем $\mu_\alpha([\beta+1, \tau]\times [0,\omega_0])<\delta/2$ для всех достаточно больших $\alpha$; будем считать, что это выполнено для всех $\alpha$. Компакт $T_\beta$ открыт в $T$. Поэтому меры $\mu_\alpha^\beta$ слабо сходятся к мере $\mu^\beta$, т. е. к мере $t\sigma^\beta$. Заменим меру $\mu_\alpha$ мерой где $c_\alpha=\mu_\alpha([\beta+1,\tau]\times [0,\omega_0])$. Тогда получаем $\|\mu_\alpha-\nu_\alpha\|<\delta$, что влечет оценку $|F(\mu_\alpha)-F(\nu_\alpha)|<\varepsilon$. В силу выбора $\tau$ имеем Аргумент в правой части стремится к $\nu=\mu^\beta+ \delta_\tau\otimes \pi(\mu-\mu^{\tau}))$, значит, $F(\nu_\alpha)\to F(\nu)$. Следовательно, $F(\mu_\alpha)\to F(\nu)$. $\Box$Замечание 2. В готовящейся к публикации статье К. А. Афонина, посвященной барицентрам мер на пространствах мер и нелинейным задачам Канторовича оптимальной транспортировки, используется компактификация Самюэля пространства мер. В отличие от стоун-чеховской компактификации, для равномерной компактификации (относительно указанной равномерности $\mathcal{U}_{\mathcal P}$ на пространстве мер) всегда верно равенство В самом деле, по-прежнему $\mathcal{P}(X)$ вложено в $\mathcal{P}(s X)$ и всюду плотно в $\mathcal{P}(s X)$, так как в $\mathcal{P}(s X)$ всюду плотно множество выпуклых комбинаций мер Дирака в точках из $s X$, а тогда ввиду плотности $X$ в $sX$ множество выпуклых комбинаций мер Дирака в точках из $X$ также плотно в $\mathcal{P}(s X)$. Это вложение равномерно непрерывно. Всякая ограниченная функция на $\mathcal{P}(X)$, равномерно непрерывная относительно $\mathcal{U}_{\mathcal P}$, продолжается по непрерывности на $\mathcal{P}(sX)$, так как функции из $C_{b,u}(X)$ являются сужениями на $X$ функций из $C_b(s X)$. Следовательно, $s\mathcal{P}(X)$ совпадает с $\mathcal{P}(sX)$. В случае равномерности $\mathcal{U}=\mathcal{U}(C_b)$ получаем, что $s\mathcal{P}(X) =\mathcal{P}(\beta X)$, так что в доказанных выше утверждениях $s\mathcal{P}(X) \not=\beta \mathcal{P}(X)$. В связи с рассмотрением равномерностей отметим еще, что топология всякого тихоновского пространства $X$ порождается некоторым набором псевдометрик $\{d_\alpha\}$. Тогда определяемая ими равномерность дает пространство $C_{b,u}(X)$ ограниченных равномерно непрерывных функций, с помощью которого можно задать топологию двойственности $\sigma(\mathcal{M}(X),C_{b,u}(X))$ на пространстве мер (о топологиях двойственности см., например, [9] или [8]). Если $C_{b,u}(X)\not=C_b(X)$, то эта топология строго слабее обычной слабой топологии $\sigma(\mathcal{M}(X),C_b(X))$, но на множестве вероятностных мер обе топологии совпадают. Это вытекает из известного критерия Колмогорова–Прохорова слабой сходимости направленности мер $\mu_\alpha\in \mathcal{P}(X)$ к мере $\mu\in \mathcal{P}(X)$: равенство $\mu(U)=\lim_\alpha \mu_\alpha(U)$ должно выполняться для всех множеств $U$ из некоторой базы топологии, замкнутой относительно конечных пересечений (см. [6; теорема 8.2.17]). В качестве такой базы можно взять совокупность множеств вида $\{g>0\}$ с границами $\mu$-меры нуль, где $g$ — ограниченная функция на $X$, липшицева относительно какой-либо конечной суммы псевдометрик $d_\alpha$. Об этом см. также [1]. На общем тихоновском пространстве $X$ можно рассматривать также бэровские меры, т. е. меры на бэровской $\sigma$-алгебре, порожденной всеми непрерывными функциями. Пространство $\mathcal{P}_\sigma(X)$ бэровских вероятностных мер также наделяется слабой топологией. Бэровская мера на $X$ однозначно продолжается до бэровской меры на $\beta X$. Пространство $X$ псевдокомпактно в точности тогда, когда всякий непрерывный линейный функционал на банаховом пространстве $C_b(X)$ задается как интеграл по бэровской мере (см. [27; теорема 21]). Из этого вытекает, что псевдокомпактность пространства $X$ равносильна компактности $\mathcal{P}_\sigma(X)$ в слабой топологии. Таким образом, в случае псевдокомпактного пространства $X$ между $\mathcal{P}(X)$ и $\mathcal{P}(\beta X)$ возникает еще один компакт $\mathcal{P}_\sigma(X)$. Поэтому $\mathcal{P}_\sigma(X)=\mathcal{P}(\beta X)$; это равенство равносильно псевдокомпактности пространства $X$. Если $X$ сильно мерокомпактно, т. е. $\mathcal{P}_\sigma(X)=\mathcal{P}(X)$ в том смысле, что все бэровские меры имеют радоновские продолжения, то множество дираковских мер оказывается замкнутым в $\mathcal{P}_\sigma(X)$. Из-за гомеоморфности $X$ этому множеству в случае равенства $\beta \mathcal{P}(X)=\mathcal{P}(\beta X)$, которое влечет псевдокомпактность $X$ и компактность $\mathcal{P}_\sigma(X)$, получаем компактность самого $X$. Открыты следующие вопросы, связанные с доказанными утверждениями (между этими вопросами также имеются связи). 1. Вытекает ли равенство $\beta \mathcal{P}(X)=\mathcal{P}(\beta X)$ из псевдокомпактности пространства $\mathcal{P}(X)$ или $X$? 2. Существуют ли счетно компактные пространства $X$, для которых $\beta \mathcal{P}(X)\not=\mathcal{P}(\beta X)$? Такой же вопрос возникает при более сильных предположениях, что $\mathcal{P}(X)$ счетно компактно. 3. Могут ли пространства $\beta \mathcal{P}(X)$ и $\mathcal{P}(\beta X)$ быть гомеоморфными, если $\beta \mathcal{P}(X)\not=\mathcal{P}(\beta X)$? Мне неизвестно это даже для $X=\mathbb{N}$. Могут ли пространства $\beta \mathcal{P}(X)$ и $\mathcal{P}(\beta X)$ быть неравномощными? В случае $X=\mathbb{N}$ мощность обоих равна $2^c$, так как такова мощность пространств $\beta\mathbb{N}$ и $\beta \mathcal{P}(\mathbb{N})$, ибо $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ — польское пространство, причем мощность $\beta \mathcal{P}(X)$ не меньше мощности $\mathcal{P}(\beta X)$ из-за наличия сюръекции, а мощность $\mathcal{P}(X)$ не меньше мощности $X$. В связи с этими вопросами было бы интересно проанализировать конкретные примеры, в том числе пространство $X=\beta\mathbb{N}\backslash \{p\}$, где $p\in \beta \mathbb{N}\backslash \mathbb{N}$. Это пространство счетно компактно, причем $\beta X=\beta \mathbb{N}$ (см. [3; с. 239, задача 58] или [28; п. 2.14]). Здесь можно добиться счетной компактности также и пространства мер $\mathcal{P}(X)$ при подходящем выборе точки $p$. Компактное множество $\mathbb{N}^*=\beta \mathbb{N}\backslash \mathbb{N}$ называется наростом пространства $\mathbb{N}$ в $\beta \mathbb{N}$. Точка $p\in \mathbb{N}^*$ называется $P$-точкой, если пересечение всякого счетного набора ее открытых окрестностей содержит ее открытую окрестность в $\mathbb{N}^*$. Как установлено У. Рудиным [23] (см. также [3; задача 55 гл. IV], [15; с. 138], [19; следствие 1.7.2] или [31; с. 107]), в предположении гипотезы континуума (CH) существуют $P$-точки. Как доказал С. Шелах (см. изложение в [33]), отсутствие $P$-точек в $\beta \mathbb{N}\backslash \mathbb{N}$ непротиворечиво в ZFC (системе Цермело–Френкеля с аксиомой выбора); с другой стороны, в [24] показано, что при отрицании гипотезы континуума и принятии аксиомы Мартина (MA) также существуют $P$-точки. Пример 2. Пусть $p\in \mathbb{N}^*$ есть $P$-точка и $X=\beta\mathbb{N}\backslash \{p\}$. Тогда пространство $\mathcal{P}(X)$ счетно компактно. Обоснование проведем в три этапа. Пусть дана последовательность мер $\mu_n\in \mathcal{P}(X)$. Эти меры продолжаются до радоновских мер на $\beta\mathbb{N}$, обозначаемых теми же буквами и равных нулю на точке $p$. Шаг 1. Предположим сначала, что дана последовательность неотрицательных мер $\nu_n$ на $X$ с $\nu_n(X)\leqslant 1$ и $\nu_n(\mathbb{N})=0$ для всех $n$. Эта последовательность мер на $\beta\mathbb{N}$ обладает предельной точкой $\nu\in \mathcal{M}(\beta \mathbb{N})$, которая имеет вид $s\sigma + t\delta_{p}$, где $\sigma\in\mathcal{P}(X)$, $s,t\in [0,1]$. Покажем, что $t=0$ для всякой такой предельной точки. Пусть $t>0$. Для каждого $n$ найдется открытая окрестность $U_n$ точки $p$ в $\beta\mathbb{N}$ с $\nu_n(U_n)<1/n$. В силу выбора точки $p$ пересечение $\bigcap_n U_n$ содержит открытую окрестность точки $p$ в $\mathbb{N}^*$, т. е. имеется такое открытое множество $U$ в $\beta\mathbb{N}$, что $p\in U$ и $U\cap\mathbb{N}^*\subset\bigcap_nU_n$. К мере $\nu$ сходится направленность мер $\nu_\alpha$ из данной последовательности. В силу критерия слабой сходимости А. Д. Александрова что противоречит оценке $\nu(U)\geqslant \nu(p)=t$.Шаг 2. Теперь рассмотрим другой частный случай, когда даны неотрицательные меры $\sigma_n$ с конечными носителями в $\mathbb{N}$ и $\sigma_n(\mathbb{N})\leqslant 1$ для всех $n$. Покажем, что такая последовательность имеет предельную точку вида $c \sigma$, где $\sigma\in\mathcal{P}(X)$. Конечно, в этом случае не всякая предельная точка такова. Например, если $\sigma_n=\delta_n$, то все дираковские меры оказываются предельными. Перейдя к подпоследовательности, можно считать, что числа $\sigma_n(\mathbb{N})$ стремятся к некоторому числу $C>0$ (случай $C=0$ очевиден), а также что при каждом $k\in\mathbb{N}$ существует предел $c_k=\lim_{n\to\infty} \sigma_n(k)$. Если $S=\sum_k c_k=C$, то имеет место сходимость по вариации к мере $\lambda=\sum_k c_k\delta_k$. Случай $S<C$ менее очевиден. Для каждого $j$ есть номер $n_j>j$ с $S-\sum_{k=1}^{n_j} c_k< 2^{-j}$. Затем можно найти номер $N_j>n_j$, для которого при всех $n\geqslant N_j$ и $k=1,\dots,n_j$ выполнены следующие неравенства:
$$
\begin{equation*}
|\sigma_n(k)-c_k |\leqslant 2^{-j} n_j^{-1}c_k, \qquad {если }\,c_k>0,
\end{equation*}
\notag
$$
$\sigma_n(k)\leqslant 2^{-j} n_j^{-1}$, если $c_k=0$. При таких $n$ меры
$$
\begin{equation*}
\eta_n=\sigma_n- (1-2^{-j}n_j^{-1})(c_1 \delta_1 +\cdots + c_{n_j} \delta_{n_j})\leqslant \sigma_n
\end{equation*}
\notag
$$
неотрицательны, причем $\eta_n(\{1,\dots,n_j\})\leqslant 2^{-j}$. Заметим, что меры сходятся по вариации к мере $\lambda$ на $\mathbb{N}$. Поэтому достаточно установить, что последовательность $\{\eta_n\}$ имеет предельную точку в $\mathcal{P}(X)$. По индукции можно выбрать строго возрастающие номера $m_j$ так, что меры $\eta_{m_j}$ будут иметь почти дизъюнктные носители $S_j$ в следующем смысле:
$$
\begin{equation*}
\eta_{m_{j+1}}(S_1\cup\cdots \cup S_j)\leqslant 2^{-j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Конечные множества $M_j=S_{j+1}\backslash \bigcup_{i\leqslant j} S_i$ дизъюнктны. Поэтому дизъюнктны множества $A=\bigcup_{j=1}^\infty M_{2j+1}$ и $B=\bigcup_{j=1}^\infty M_{2j}$. По теореме Чеха замыкания $A_1$ и $B_1$ этих множеств в $\beta\mathbb{N}$ также дизъюнктны (см. [10; следствие 3.6.2]). Точка $p$ не попадает хотя бы в одно из этих замыканий, скажем, в $A_1$. Последовательность мер $\eta_{2j+1}$ имеет предельную меру $\eta\geqslant 0$ на $\beta\mathbb{N}$ вида $\eta'+ c \delta_p$, где $c\geqslant 0$, а мера $\eta'\geqslant 0$ сосредоточена на $X$. Для открытого множества $U=\beta\mathbb{N}\backslash A_1$ имеем $\eta(U)\geqslant c$. С другой стороны, к мере $\eta$ сходится поднаправленность $\{\eta_\alpha\}$ из последовательности $\{\eta_n\}$, поэтому $\eta(U)\leqslant \liminf_\alpha \eta_\alpha(U)$. Остается заметить, что этот инфимум равен нулю, так как $\eta_{m_{j+1}}(\mathbb{N}\backslash M_j)\leqslant 2^{-j}$ и $U$ лежит в дополнении к $M_j$. Шаг 3. Обратимся к общему случаю. Меры $\mu_n$ запишем в виде $\mu_n=\sigma_n+\nu_n$, где меры $\sigma_n\geqslant 0$ сосредоточены на $\mathbb{N}$, а меры $\nu_n\geqslant0$ сосредоточены на $\mathbb{N}^*\backslash \{p\}$. Для меры $\sigma_n$ можно найти меру такой же массы с конечным носителем в $\mathbb{N}$ и $\|\sigma_n-\sigma_n'\|\leqslant 1/n$. Это позволяет перейти к случаю мер $\sigma_n$ с конечными носителями. По доказанному на предыдущем этапе из последовательности $\{\sigma_n\}$ можно выделить поднаправленность, сходящуюся к мере $\sigma$ с $\sigma(p)=0$. Соответствующая направленность из мер $\nu_n$, рассматриваемых на $\beta\mathbb{N}$, имеет поднаправленность, сходящуюся к некоторой мере $\nu$ на $\beta\mathbb{N}$, для которой в силу первого шага имеем $\nu(p)=0$. Тогда мера $\sigma+\nu$ является предельной для исходной последовательности и входит в $\mathcal{P}(X)$. Упомянутое выше счетно компактное пространство $X$, для которого $\mathcal{P}(X)$ не счетно компактно из-за того, что $X^2$ не счетно компактно (даже не псевдокомпактно), также является подмножеством пространства $\beta\mathbb{N}$, содержащим $\mathbb{N}$ (см. [15; пример 9.15]). Еще одним примером, заслуживающим рассмотрения, является известное пространство Мрувки (см. [10; упражнение 3.6.I] или [20]) — псевдокомпактное пространство $M$, не являющееся счетно компактным (поэтому не являющееся и нормальным), для которого $M=S\cup D$, где $S$ счетно и всюду плотно в $M$, все точки в $S$ изолированы, $D$ — несчетное дискретное замкнутое множество, дизъюнктное с $S$, причем $\beta M$ совпадает с одноточечной компактификацией пространства $M$. В этом примере $\beta M=M\cup \{p\}$, $\mathcal{P}(M)$ состоит из вероятностных мер, сосредоточенных на счетных множествах, $\mathcal{P}(\beta M)$ является выпуклой оболочкой пространства $\mathcal{P}(M)$ и меры Дирака в точке $p$ из одноточечной компактификации. В последних трех примерах неясно, совпадают ли $\beta \mathcal{P}(X)$ и $\mathcal{P}(\beta X)$. Благодарю К. А. Афонина и С. Н. Попову за полезные обсуждения. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bog24} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|