| Функциональный анализ и его приложения |
|
|
|
|
|
Некоммутативная геометрия случайных поверхностей А. Ю. Окуньков Columbia University, New York, USA
Англоязычная версия:
Functional Analysis and Its Applications, 2024, Volume 58, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0016266324010064 
Реферативные базы данных:
 § 1. Введение1.1.Эта статья посвящена взаимодействию между теорией вероятностей и геометрией. Случайными объектами будут случайные ступенчатые поверхности, заполняющие заданную границу в $ \mathbb{R} ^3$. Эквивалентным образом можно рассматривать случайные замощения ромбами плоской области или случайные димерные покрытия некоторых подграфов гексагонального графа. На вероятностные вопросы об этих случайных поверхностях будут даны ответы в терминах неслучайного алгебраического объекта — кривой на некоммутативной плоскости. В основе этой связи лежит теория планарных димеров Кастелейна, которая вычисляет все вероятности в терминах функции Грина некоторого конечно-разностного оператора $ \mathsf{K} $. Из нашей конструкции будет ясно, что связь между конечно-разностными операторами и некоммутативной геометрией можно легко расширить далеко за рамки этой статьи. Однако здесь наша цель состоит в том, чтобы объяснить некоторое явление в минимально возможной общности и оставаться как можно ближе к некоторым конкретным приложениям. Эти приложения, а также ряд других направлений, которые выглядят многообещающими, будут рассмотрены ниже. 1.2.Пусть $\Omega$ — односвязная плоская область, которую можно замостить ромбами, как показано на рис. 1. Хорошо известные биекции, показанные на рис. 1, отождествляют такие замощения с димерными покрытиями подграфа $\Omega_6 =\Omega \cap \Gamma_6$ гексагонального графа $\Gamma_6$, а также со ступенчатыми поверхностями с заданной границей. Введение в димеры и ступенчатые поверхности можно найти в [8]. Ступенчатые поверхности возникают в математической физике в самых разных контекстах: от простых, но реалистичных моделей интерфейсов (например, кристаллических поверхностей) до сложных конструкций, возникаюших в суперсимметричных калибровочных теориях и теории струн (введение в эти вопросы см., например, в [13], [15]). Во всех приложениях естественно взвешивать вероятность ступенчатой поверхности $S$ охваченным ею объемом $V(S)$, т. е. считать, что где $q>0$ — параметр. Заметим, что для двух поверхностей $S_1$ и $S_2$, заполняющих одну и ту же границу, разность $V(S_1)-V(S_2)$ корректно определена; это все, что требуется в (1).В случае кристаллических поверхностей $\log q$ — это расход энергии на удаление атома1. 1.3.Нас будет особенно интересовать случай, когда $\Omega$ увеличивается до бесконечности, сохраняя при этом свою форму, т. е. количество и ориентацию своих граничных сегментов. Мы будем называть такие области полигональными. Изучение случайной ступенчатой поверхности с большой полигональной границей (или, что равносильно, случайного димерного покрытия или случайного замощения) приводит к интересным вероятностным вопросам. Нетривиальность этих вопросов можно оценить, взглянув на рис. 2. На рис. 2 ясно видно образование некоторой неслучайной предельной формы, что является проявлением закона больших чисел. По мере того, как размер сетки стремится к нулю, то же происходит с масштабом случайности. Вариационная характеристика предельной формы для ступенчатых поверхностей (с произвольными граничными условиями) была получена Коном, Кеньоном и Проппом в [4]. Для полигональных границ вариационная задача была решена в [9] в терминах некоторой плоской алгебраической кривой $Q$. В частности, замороженная граница, которая представляет собой кривую, отделяющую порядок от беспорядка на рис. 2, является плоской кривой, двойственной к $Q$, в экспоненциальных координатах. 1.4.Как абстрактное математическое понятие предельные формы предоставляют замечательную (и эффективную как в концептуальном, так и в прикладном смысле) точку зрения на разнообразные взаимодействия геометрии и случайности; см., например, [18]. Хотя понятие предельной формы и является абстрактным, оно неразрывно связано с именем одного конкретного человека, чутье и энтузиазм которого продвигали и вдохновляли исследования в этой области на протяжении десятилетий. Как человек, который вырос на таких статьях, как [24], и которому посчастливилось учиться непосредственно у А. М. Вершика и С. В. Керова, я счастлив осознавать, сколь многим в своем математическом мировоззрении я обязан их новаторским открытиям, а также философии и эстетике, которые с ними связаны. Те, кто не испытал этого на собственном опыте, смогут получить достаточно хорошее представление о том, на что это было похоже, из конспектов лекций, таких, как [23]. В частности, третий раздел в [23] посвящен теме, которая всегда была особенно близка сердцу Анатолия Моисеевича, — трехмерным разбиениям. Их можно рассматривать как предельный случай объекта на рис. 2, когда граница есть шестиугольник бесконечного размера. 1.5.Предмет настоящей статьи можно неформально охарактеризовать как квантование предельной формы или, более конкретно, кривой $Q$. Такое квантование можно осуществлять для конечной области $\Omega$, т. е. до перехода к каким бы то ни было пределам. В частности, оно фиксирует не только предельную форму, но и флуктуации рассматриваемых случайных поверхностей. При таком подходе не должно вызывать удивления появление некоммутативных кривых. Заметим, однако, что технически некоммутативность будет связана с параметром $\log q$, а не с размером флуктуаций (как можно было бы ожидать, исходя из принципа неопределенности). 1.6.В принципе, классическая теория Кастелейна [6] отвечает на все возможные вопросы о случайных ступенчатых поверхностях в терминах функции Грина, т. е. обратного к некоторому конечно-разностному оператору $ \mathsf{K} $. Этот оператор Кастелейна $ \mathsf{K} $ является взвешенной матрицей смежности графа $\Omega_6$. Заметим, что $\Gamma_6$ и, следовательно, $\Omega_6$ являются двудольными графами, т. е. вершины каждого из них могут быть раскрашены в два цвета (традиционно черный и белый) таким образом, что ребром соединяются только вершины разных цветов. Это отражено на рис. 3. Мы будем индексировать строки (столбцы) матрицы смежности белыми (соответственно черными) вершинами. Ненулевые элементы матрицы $ \mathsf{K} _{ij}$ должны удовлетворять равенству
$$
\begin{equation}
q \, \mathsf{K} _{21} \mathsf{K} _{43} \mathsf{K} _{65} = \mathsf{K} _{23} \mathsf{K} _{45} \mathsf{K} _{61}
\end{equation}
\tag{2}
$$
для каждой грани $F$, где $v_1,\dots,v_6$ — это шесть вершин, расположенных вокруг грани $F$, как показано на рис. 3. Эти условия определяют матрицу оператора $ \mathsf{K} $ однозначно с точностью до некоторого калибровочного преобразования, а именно, умножения слева и справа на диагональную матрицу. Цель этой статьи можно неформально описать как поиск скрытых структур в обратной матрице $ \mathsf{K} ^{-1}$. Некоторые структуры в этой матрице легко заметить: по определению ее элементы удовлетворяют конечно-разностному уравнению для каждого индекса, а именно, $ \mathsf{K} \mathsf{K} ^{-1} = \mathsf{K} ^{-1} \mathsf{K} = 1$. Наше основное утверждение состоит в том, что для полигональных областей $\Omega$ элементы матрицы $ \mathsf{K} ^{-1}$ удовлетворяют дополнительным конечно-разностным уравнениям. Степень этих дополнительных уравнений определяется формой области $\Omega$, т. е. количеством граничных сегментов, а не размером этой области. Это важно с вероятностной точки зрения. 1.7.Некоммутативная геометрия, упомянутая в названии этой статьи, предоставляет естественный язык для формулировки и изучения этих дополнительных уравнений. Происхождение некоммутативности можно увидеть из (2). Для $q = 1$ матрица смежности графа $\Gamma_6$ является очевидным решением, и это решение трансляционно-инвариантно, т. е. коммутирует с подгруппой $ \mathbb{Z} ^2\subset \operatorname {Aut}(\Gamma_6)$, действующей трансляциями (сохраняющими двудольность). Для $q\ne 1$ трансляционно-инвариантное уравнение (2) не имеет трансляционно-инвариантных решений, а это означает, что оператор Кастелейна $ \mathsf{K} $ теперь коммутирует с магнитными трансляциями, т. е. с трансляциями, за которыми следует калибровочное преобразование. В свою очередь, магнитные трансляции коммутируют только с точностью до множителя (логарифм которого пропорционален площади параллелограмма, натянутого на векторы трансляции). Другими словами, они образуют алгебру, известную как квантовый двумерный тор. До сих пор мы рассматривали только весь гексагональный граф $\Gamma_6$ целиком, т. е. в отсутствие каких-либо границ. Примечательно, однако, что при некоторых условиях можно добиться того, чтобы действие оператора Кастелейна и коммутирующих магнитных трансляций было согласовано с полигональными границами. Для этого нужно компактифицировать квантовый двумерный тор до некоммутативной плоскости, т. е. ввести некоторую градуированную алгебру $ \mathsf{A} $, представляющую собой деформацию кольца многочленов от переменных $x_1$, $x_2$, и $x_3$, для которой все элементы квантового двумерного тора являются однородными элементами степени $0$ из $ \mathsf{A} [(x_1 x_2 x_3)^{-1}]$. 1.8.Для любой фиксированной белой вершины $ \mathsf{w} \in\Omega_6$ действие магнитной трансляции на $ \mathsf{K} ^{-1}(\,\boldsymbol\cdot\, , \mathsf{w} )$, т. е. на соответствующий столбец матрицы $ \mathsf{K} ^{-1}$, порождает градуированный $ \mathsf{A} $-модуль $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} $. Наличие дополнительных уравнений, которым должна удовлетворять матрица $ \mathsf{K} ^{-1}$, отражается в том факте, что $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} $ является модулем кручения. Для разных вершин $ \mathsf{w} $ модули $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} $ имеют одни и те же базовые черты. На самом деле все они содержат канонический подмодуль $ \mathsf{Q} $, который зависит только от $\Omega$ и заключает в себе существенную информацию. 1.9.Построение модуля $ \mathsf{Q} $ и изучение его основных свойств занимают основную часть настоящей статьи. Хотя определение этого модуля не требует ничего, кроме элементарной комбинаторики и линейной алгебры, мы увидим, что получающийся объект обладает глубиной и сложностью. Степени его образующих и соотношений (и, следовательно, степени дополнительных уравнений, которым удовлетворяет $ \mathsf{K} ^{-1}$) определяются только комбинаторикой области $\Omega$ (см. теорему 1). С другой стороны, явная форма этих соотношений зависит от $q$ и геометрии области $\Omega$ довольно хитроумным образом. 1.10.Именно здесь становится необходимым геометрический подход к таким модулям, впервые предложенный М. Артином и его коллегами (введение в эти вопросы см., например, в [22]). И хотя интерпретация модуля $ \mathsf{Q} $ как пучка на некоммутативной плоскости есть, в некотором смысле, вопрос определений, приобретенная таким образом геометрическая интуиция очень ценна. Прежде всего, именно этот подход позволяет нам рассматривать модуль $ \mathsf{Q} $ как квантование предельной формы $Q$. На самом деле квантование требует дополнительных степеней свободы, параметризованных линейными расслоениями (или, более общо, пучками ранга $1$) на $Q$. Их можно сравнить с комплексными фазами в квантовой механике. Некоторые свойства кривой $Q$, такие, как ее точки пересечения с координатными осями проективной плоскости $ \mathbf{P}^2 $, имеют прямой квантовый аналог (см. §4). Другие (такие, как геометрический род) труднее обобщить (см. [10]). 1.11.Поскольку область $\Omega$ является чисто комбинаторным объектом, мы можем модифицировать ее, просто перемещая граничные сегменты внутрь и наружу. В § 5 мы докажем, что действие этих преобразований на $ \mathsf{Q} $ можно назвать некоммутативным сдвигом на якобиане. В частности, именно это происходит с $ \mathsf{Q} $ при масштабировании области $\Omega$. 1.12. БлагодарностиНынешнее понимание предмета сложилось у автора не сразу. Я хочу поблагодарить большое количество людей за стимулирующие и содержательные обсуждения, которые сыграли немаловажную роль. В частности, я благодарю Д. Айзенбуда, В. А. Гинзбурга, А. Дж. де Йонга, Р. Кеньона, И. М. Кричевера, Д. Маулика, Н. А. Некрасова, Э. Рейнса, Н. Ю. Решетихина и Я. С. Сойбельмана. Из некоторых бесед родились совместные исследовательские проекты [10], [20]. Из-за трагической и безвременной кончины И. М. Кричевера многие планы и начинания, в которых он играл ключевую роль, возможно, уже не удастся довести до конца; одним из таких проектов была работа [10]. Краткий отчет об этой работе см. в [17]. Статья [20] была завершена и опубликована, но, возможно, все еще ждет своих читателей. У меня была возможность неоднократно читать лекции на эту тему. В частности, я прочел цикл лекций на кафедре Айзенштадта в Университете Монреаля в 2008 г., а также лекции памяти Т. Вольфа в Калифорнийском технологическом институте, памяти Эйленберга в Колумбийском университете, памяти Миллимана в Вашингтонском университете и лекции имени Саймонса в Массачусетском технологическом институте в 2010 г. [17]. Я очень благодарен слушателям этих лекций за их участие и обратную связь. Я выражаю глубокую признательность этим учреждениям и Институту высших научных исследований за теплое гостеприимство во время моей работы над этой статьей. § 2. Квантовая предельная форма2.1.Пусть $ \mathsf{A} $ — алгебра, порожденная элементами $x_1,x_2,x_3$, подчиненными соотношениям где $q_{ii}=1$ и $q_{ij}=q_{ji}^{-1}$. Это основной пример некоммутативной проективной плоскости $ \mathbf{P}^2 $; начальные сведения см., например, в [22]. Добавив элементы $x_i^{-1}$, обратные к образующим, мы получим бо́льшую алгебру $ \mathsf{T} $, которая называется некоммутативным трехмерным тором.Обе алгебры $ \mathsf{A} $ и $ \mathsf{T} $ градуируются суммарной степенью по всем трем образующим. Пусть $ \mathsf{T} _d$, где $d\in \mathbb{Z} $ произвольно, — одна из градуированных компонент. Одночлены
$$
\begin{equation*}
x^a = x_1^{a_1} x_2^{a_2} x_3^{a_3} \in \mathsf{T} _d
\end{equation*}
\notag
$$
очевидным образом соответствуют точкам $a\in \mathbb{Z} ^3$ решетки, лежащей в плоскости $a_1+a_2+a_3 = d$. Их проекции в направлении $(1,1,1)$ , т. е. их образы в $ \mathbb{R} ^3\!/ \mathbb{R} \cdot(1,1,1)\cong \mathbb{R} ^2$, можно отождествить с черными вершинами графа $\Gamma_6$. Аналогичным образом, одночлены из $ \mathsf{T} _{d+1}$ можно поставить во взаимно однозначное соответствие с белыми вершинами этого графа. Рисунок 4 иллюстрирует это соответствие для случая $d=4$ . 2.2.Рассмотрим оператор
$$
\begin{equation*}
\mathsf{K} \colon \mathsf{T} _d \to \mathsf{T} _{d+1},
\end{equation*}
\notag
$$
действующий как умножение справа на $x_1 +x_2 +x_3 \in \mathsf{A} _1$, т. е. по правилу С помощью коммутационных соотношений (3) легко проверить, что, действительно, в базисе одночленов это $q$-взвешенный оператор Кастелейна для $\Gamma_6$ (см. выше) с Заметим, что, хотя у нас нет канонического упорядочения переменных и, следовательно, нет канонической нормализации одночлена, прямые, натянутые на одночлены из $ \mathsf{T} $, определены корректно. Это все, что нам нужно, поскольку оператор $ \mathsf{K} $ интересует нас лишь с точностью до калибровочных преобразований.2.3. Модуль $ M $2.3.1.Одночлены нормальны в $ \mathsf{T} $, т. е. $ \mathsf{A} x^c = x^c \mathsf{A} $ несет естественную структуру $ \mathsf{A} $-бимодуля. Если $\deg x^c \leqslant 1$, то одночлены из $(\mathsf{A} x^c)_1$ образуют треугольник с вершинами
$$
\begin{equation*}
x_1^{c_1} x_2^{c_2} x_3^{-c_1-c_2+1}, x_1^{c_1} x_{2}^{-c_1-c_3+1} x_{3}^{c_3},x_1^{-c_2-c_3+1} x_{2}^{c_2} x_{3}^{c_3} \in \mathsf{T} _1.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы обозначим этот равносторонний треугольник через $\Delta(c)$ и назовем его носителем компоненты $(\mathsf{A} x^c)_1$. 2.3.2.Мы будем трактовать черные и белые вершины графа $\Omega_6$ как одночлены из $ \mathsf{T} _0$ и $ \mathsf{T} _1$ соответственно. Представим $\Omega$ в виде теоретико-множественной комбинацию треугольников:
$$
\begin{equation}
\Omega= \bigcup_i \Delta(\mathbf{a} _i) \setminus \bigcup_j \Delta(\mathbf{b} _j), \qquad \mathbf{a} _i, \mathbf{b} _j\in \mathbb{Z} ^3,
\end{equation}
\tag{5}
$$
как на рис. 5. Включение треугольников индуцирует включение градуированных $ \mathsf{A} $-бимодулей
$$
\begin{equation}
\bigoplus \mathsf{A} x^{ \mathbf{b} _i} \subset \bigoplus \mathsf{A} x^{ \mathbf{a} _i} .
\end{equation}
\tag{6}
$$
Обозначим через $ M $ фактор-$ \mathsf{A} $-бимодуль, определенный включением (6). Определим эндоморфизм $ \mathsf{K} $ бимодуля $ M $ как умножение справа на $x_1+x_2+x_3 \in \mathsf{A} _1$. Это отображение левых $ \mathsf{A} $-модулей. По построению оператор является оператором Кастелейна для $\Omega_6$. 2.3.3.В этой статье важную роль играет понятие стабильного диапазона. По определению число $i$ лежит в стабильном диапазоне для $ M $, если комбинаторика области совпадает с комбинаторикой области $\Omega=\Omega(0)$. В частности, длина кратчайшей белой границы области $\Omega$, т. е. границы, образованной белыми треугольниками, является верхней гранью для стабильного диапазона.Более общим образом, уточняя разложение (5), мы можем снабдить $ M $ резольвентой состоящей из модулей вида $\bigoplus \mathsf{A} x^{ \mathbf{a} _i}$, где отображения — это естественные включения. Здесь модуль $F_0=\bigoplus \mathsf{A} x^{ \mathbf{a} _i}$ соответствует треугольникам $\Delta(\mathbf{a} _i)$ в (5). Пересечения между $ \mathsf{A} x ^{ \mathbf{a} _i}$ вместе с $\Delta(\mathbf{b} _i)$ дают определяющие соотношения модуля $F_1$ и так далее. У модуля $F_0$ нет образующих элементов положительной степени, но у других модулей $F_i$ они могут быть. Стабильный диапазон кончается вместе с появлением первого такого образующего.Заметим, что размер стабильного диапазона линейно зависит от $\Omega$; это означает, что он меняется обратно пропорционально размеру сетки в вероятностной постановке. На протяжении всей статьи нас будет интересовать только то, что происходит в стабильном диапазоне. 2.3.4.Наша следующая цель — вычислить функцию Гильберта модуля $ M _d$ в стабильном диапазоне. Для этого мы наложим условие общности положения, а именно, что все три граничных наклона появляются в границе $\partial \Omega$ области $\Omega$ в циклическом порядке. Мы обозначим через $\deg\Omega$ количество циклов таких троек в $\partial \Omega$. Например, на рис. 6 $\deg\Omega=3$. Здесь, конечно, индекс оператора $ \mathsf{K} _0$ равен нулю, но он не будет нулем в рассматриваемых ниже обобщениях. Доказательство. Рассмотрим отображение Ядро и коядро этого отображения состоят из функций, носителями которых являются горизонтальные полосы формы, изображенной на рис. 6. Точнее, белые горизонтальные границы соответствуют коядру, а черные — ядру.
Заметим, что белая граница области $ \operatorname{supp} M _i$ сужается с ростом $i$, а черная расширяется. Таким образом, каждая из $\deg\Omega$ горизонтальных границ дают вклад $-1$ во вторую производную функции $\dim M _i$ по $i$. Мы получаем
$$
\begin{equation*}
\dim M _d = - \deg\Omega \, \frac{d^2}{2} + \cdots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь многоточие стоит вместо многочлена от $d$ степени $\leqslant 1$, который однозначно определяется своими значениями в $d=0,1$. 2.3.5.Лемма 2. Если $d\geqslant 0$ лежит в стабильном диапазоне, то оператор $ \mathsf{K} $: $ M _d\to M _{d+1}$ сюръективен для положительных $q$ и для $q$ общего положения. Доказательство. При $d=0$ по теореме Кастелейна определитель $\det \mathsf{K} $ равен $q$-взвешенному числу ступенчатых поверхностей, а следовательно, не равен нулю при $q>0$. Случай $d>0$ доказывается по индукции с использованием коммутирующего отображения (8). В силу индуктивного предположения достаточно проверить сюръективность оператора $ \mathsf{K} $ на белой граничной полосе (см. рис. 6), а она очевидна. 2.4. Модуль $ \mathsf{Q} $ и матрица, обратная к матрице Кастелейна2.4.1.Обозначим через $ \mathsf{Q} $ ядро оператора $ \mathsf{K} $, действующего на $ M $. Это градуированный левый $ \mathsf{A} $-модуль. Чтобы понять, почему это определение может оказаться полезным, немного обобщим конструкцию. 2.4.2.Пусть $ \mathsf{w} $ — белая вершина графа $\Omega_6$, соответствующая одночлену $x^ \mathsf{w} $. Обозначим через $\Omega^ \mathsf{w} $ область, полученную из $\Omega$ удалением соответствующего белого треугольника, и положим Леммы 1 и 2 остаются верными для $ M ^ \mathsf{w} $ с очевидными изменениями:
$$
\begin{equation*}
\deg \Omega^ \mathsf{w} = \deg \Omega + 1 , \qquad \operatorname {ind} \mathsf{K} ^ \mathsf{w} _0 = 1.
\end{equation*}
\notag
$$
В отличие от модуля $ \mathsf{Q} $ модуль $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} $ имеет ненулевую компоненту $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} _0$. Действительно, по построению $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} _0$ порождается соответствующим столбцом $ \mathsf{K} ^{-1} x^ \mathsf{w} $ обратной матрицы Кастелейна. Благодаря структуре левого $ \mathsf{A} $-модуля на $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} $ алгебра $ \mathsf{A} $ действует на столбцы обратной матрицы Кастелейна разностными операторами. Чтобы убедиться, что ненулевой разностный оператор из $ \mathsf{A} $ должен аннулировать $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} _0$, достаточно вычислить функцию Гильберта модуля $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} $. 2.4.3.Согласно леммам 1 и 2, в стабильном диапазоне выполнены равенства
$$
\begin{equation}
\dim \mathsf{Q} _d = d \deg \Omega + \operatorname {ind} \mathsf{K} _0 = d \deg \Omega
\end{equation}
\tag{9}
$$
и, аналогично,
$$
\begin{equation}
\dim \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} _d = (\deg \Omega +1) d + 1 .
\end{equation}
\tag{10}
$$
Так как эти размерности растут лишь линейно по $d$, для любого элемента $g\in \mathsf{Q} _d$ отображение
$$
\begin{equation*}
\mathsf{A} _i \owns f \mapsto f\cdot g \in \mathsf{Q} _{d+i}
\end{equation*}
\notag
$$
должно иметь ядро, если $i$ достаточно велико. Это искомые разностные уравнения, которым удовлетворяет $ \mathsf{K} ^{-1}$. Нам, очевидно, придется проделать дополнительную работу, чтобы сказать о них что-то более конкретное. 2.4.4.Заметим, что мы имеем точную последовательность
$$
\begin{equation}
0 \to \mathsf{Q} \to \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} \to L \to 0,
\end{equation}
\tag{11}
$$
где третий член $L$ удовлетворяет условию $\dim L_d = d+1$. На самом деле $L$ — это линейный модуль, т. е. модуль вида
$$
\begin{equation*}
L = \mathsf{A} / \mathsf{A} l,\qquad l\in \mathsf{A} _1.
\end{equation*}
\notag
$$
Лемма 3. В стабильном диапазоне, т. е. для $ \mathsf{w} $, находящихся достаточно далеко от границы области $\Omega$, $L$ — это линейный модуль с $l=x^ \mathsf{w} (x_1+x_2+x_3)x^{- \mathsf{w} }$. Доказательство. Пусть $g= \mathsf{K} ^{-1}x^ \mathsf{w} $ — образующий элемент модуля $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} _0$, и предположим, что $f g \in \mathsf{Q} $ для некоторого $f\in \mathsf{A} $. Это означает, что $f g$ можно продолжить на всю область $\Omega$ как решение уравнения Кастелейна. Другими словами, существует многочлен $g'\in \mathsf{A} _{\deg f-1}$, такой, что Лемма доказана. $\Box$ С этой точки зрения нет большой разницы между модулями $ \mathsf{Q} $ и $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} $. Несколько поэтично мы назовем $ \mathsf{Q} $ квантовой предельной формой. Математические причины такого названия будут рассмотрены ниже. § 3. Структура модуля $ \mathsf{Q} $3.1.Цель этого раздела — доказать следующее утверждение. Теорема 1. В стабильном диапазоне и для $q$ общего положения модуль $ \mathsf{Q} $ порождается $\deg\Omega$ образующими степени $1$, подчиненными $\deg\Omega$ линейным соотношениям. Другими словами, минимальная градуированная свободная резольвента модуля $ \mathsf{Q} $ имеет вид Аналогично, Здесь мы используем обычное соглашение, что $ \mathsf{A} (i)_d= \mathsf{A} _{i+d}$. 3.2.В коммутативном случае резольвента вида (12) хорошо известна в алгебраической геометрии (см., например, [1]). Соответствующие пучки на $ \mathbf{P}^2 $ имеют вид $\iota_* \mathcal{L} $, где — вложение кривой степени $D=\deg\Omega$, а $ \mathcal{L} $ — линейное расслоение (или более общий пучок без кручения, если $Q$ имеет особенности) степени $g-1$. Здесь — арифметический род кривой $Q$. Кривая $Q$ может быть описана как где $R$ — матрица линейных форм, которая задает отображение в (12). Из (12) следует, что $ \mathcal{L} $ не имеет сечений; это означает, что $ \mathcal{L} \in \operatorname {Jac}_{g-1}(Q)\setminus \Theta$, где $\Theta\subset \operatorname {Jac}_{g-1}(Q)$ — тэта-дивизор.Смысл резольвенты (13) аналогичен, с той лишь разницей, что теперь $D= \deg\Omega+1$, а степень пучка $ \mathcal{L} $ равна $g$. В коммутативном случае из точной последовательности (11) следует, что носитель модуля $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} $ содержит прямую $l=0$ в качестве компоненты. 3.3.Одна из конечных целей настоящего проекта состоит в том, чтобы понять, как ведет себя $ \mathsf{Q} $, когда размер сетки и $\log q$ стремятся к $0$ со сравнимыми скоростями. Модули пучков вида (12) имеют естественную компактификацию, в которой любая последовательность имеет подпоследовательность, сходящуюся к настоящему пучку на обычной коммутативной проективной плоскости $ \mathbf{P}^2 $. В [10] будет показано, что носитель этого предела лежит на кривой $Q$, соответствующей предельной форме. По этой причине мы и назвали $ \mathsf{Q} $ квантовой предельной формой. 3.4.Для любого градуированного $ \mathsf{A} $-модуля $ \mathsf{Q} $ степени его образующих, соотношений и т. д. можно найти, исходя из размерностей градуированных компонент векторных пространств
$$
\begin{equation*}
\operatorname {Tor}_i \mathsf{Q} = \operatorname {Tor}_i (\mathsf{A} / \mathsf{A} _{>0}, \mathsf{Q} ),
\end{equation*}
\notag
$$
где $ \mathsf{A} _{>0}$ — идеал, порожденный компонентой $ \mathsf{A} _1$. В частности, существование свободной резольвенты длины 2 равносильно следующему утверждению. Доказательство. Так как для алгебры $ \mathsf{A} $ все пространства $ \operatorname {Tor}_{>3}$ тривиальны, достаточно показать, что они тривиальны и для $i=2,3$. Поскольку резольвента (7) определяется комбинаторно в терминах области $\Omega$, мы заключаем, что в стабильном диапазоне $ \operatorname {Tor}_i M =0$. На самом деле это и есть определение стабильного диапазона. Из того, что $ \mathsf{Q} \subset M $ и все $ \operatorname {Tor}_4$ тривиальны, мы заключаем, что По построению имеет место точная последовательность и так как $ \operatorname {Im} \mathsf{K} \subset M $, то $ \operatorname {Tor}_3 \operatorname {Im} \mathsf{K} = 0$. Теперь из длинной точной последовательности для $ \operatorname {Tor}_i$ вытекает, что $ \operatorname {Tor}_2 \mathsf{Q} =0$. 3.5. Доказательство. Достаточно рассмотреть коммутативный случай, когда $q_{ij}=1$. Тогда, с одной стороны, $ \mathsf{Q} $ аннулируется многочленом $x_1+x_2+x_3$, а с другой стороны, $ \operatorname {Tor}_i \mathsf{Q} = 0$ для $i>1$. Это означает, что модуль $ \mathsf{Q} $ соответствует векторному расслоению над прямой $x_1+x_2+x_3=0$. Из вида его функции Гильберта мы заключаем, что он должен быть равен $ \mathcal{O} (-1)^{\deg \Omega}$, что и доказывает лемму. $\Box$ 3.6.Теперь легко завершить доказательство формулы (12). В размерности 1 имеется $\deg \Omega = \dim \mathsf{Q} _1$ образующих, и из формулы (9) следует, что они должны удовлетворять $\deg \Omega$ линейным соотношениям. В силу леммы 5 других образующих нет, а в силу формулы (9) нет других соотношений. Формула (13) доказывается аналогично. Лемма 4 остается справедливой, несмотря на то, что $(\operatorname {Tor}_1 M ^ \mathsf{w} )_1 \ne 0$. Аналогом леммы 5 является утверждение, что модуль $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} $ порождается компонентами $ \mathsf{Q} _0$ и $ \mathsf{Q} _1$, так как в коммутативном случае $ \mathsf{Q} $ соответствует расслоению $ \mathcal{O} \oplus \mathcal{O} (-1)^{\deg \Omega}$ над прямой $x_1+x_2+x_3=0$. Остается объяснить, почему коммутативная резольвента
$$
\begin{equation*}
0\to \mathsf{A} (-1)\oplus \mathsf{A} (-2)^{\deg \Omega} \to \mathsf{A} \oplus \mathsf{A} (-1)^{\deg \Omega} \to \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} \to 0,\qquad q_{ij}=1,
\end{equation*}
\notag
$$
превращается в (13) для $q$ общего положения. Иными словами, нам нужно проверить, что образующий элемент компоненты $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} _0$ больше не удовлетворяет никакому линейному соотношению для $q$ общего положения. Это простое следствие результатов из следующего параграфа. Действительно, кривые, заданные линейным многочленом и одночленом $x_1 x_2 x_3$, пересекаются в трех точках, т. е. линейный многочлен обнуляет три образующие точечных модулей над $ \mathsf{A} $. Как мы увидим далее, аннулятор компоненты $ \mathsf{Q} ^ \mathsf{w} _0$ пересекает каждую координатную ось в $\deg\Omega+1$ точках. § 4. Граничные точки4.1.Напомним (см. [9]), что кривая $Q$, описывающая предельную форму, определяется как единственная рациональная кривая степени $\deg\Omega$, для которой двойственная кривая $Q^\vee$ вписана в $\Omega$. Это означает, в частности, что $Q$ пересекает каждую координатную ось проективной плоскости $ \mathbf{P}^2 $ в $\deg\Omega$ точках. В этом параграфе мы увидим, что для квантовой предельной формы $ \mathsf{Q} $ выполнен точный некоммутативный аналог этого утверждения. 4.2.Положим
$$
\begin{equation*}
\partial_3 \mathsf{Q} = \mathsf{Q} / x_3 \mathsf{Q} .
\end{equation*}
\notag
$$
Мы увидим, что $\partial_3 \mathsf{Q} $ — это прямая сумма $\deg\Omega$ точечных модулей, помеченных горизонтальными границами области $\Omega$, как на рис. 6. По определению многочлен Гильберта точечного модуля равен константе $1$. С точностью до модуля конечной длины точечный модуль параметризуется торическим дивизором $x_1 x_2 x_3 = 0$ проективной плоскости $ \mathbf{P}^2 $. Соответствие выглядит так:
$$
\begin{equation*}
(a_1 : a_2 : 0) \leftrightarrow \mathsf{A} /\langle x_3, a_2 x_1 - a_1 x_2 \rangle .
\end{equation*}
\notag
$$
Отношения $a_2/a_1$ для слагаемых модуля $\partial_3 \mathsf{Q} $ определяются вертикальными координатами горизонтальных границ области $\Omega$. 4.3.Для функции Гильберта имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
\dim (\partial_3 \mathsf{Q} )_d = \deg \Omega ,\qquad d>0,
\end{equation*}
\notag
$$
которое вытекает из следующей леммы. Доказательство. Носитель многочлена из ядра действия умножением слева на $x_3$ лежит в полосе ширины 1 вдоль черных границ, как на рис. 6 справа. Такая функция не может аннулироваться оператором Кастелейна. $\Box$ 4.4. Белые границыПусть $\Omega'$ — не допускающая замощения область, полученная сдвигом одной из белых горизонтальных границ области $\Omega$ на один шаг внутрь. Обозначим через $ M '$ соответствующий мономиальный модуль. Пусть $ \mathsf{K} '\colon M '\to M '$ — умножение справа на $x_1+x_2+x_3$ и $ \mathsf{Q} '= \mathsf{Q} \cap M '$ — его ядро. Так как $x_3 \mathsf{Q} \subset M '$, то $\partial_3 \mathsf{Q} $ сюръективно отображается на $ \mathsf{Q} / \mathsf{Q} '$. Отрезав белые граничные полоски от $\Omega'(i)$, $i>1$, мы видим, по аналогии с доказательством леммы 2, что $ \mathsf{K} '$ сюръективно отображается на $ M '_i$ для $i>1$. Поскольку $ \operatorname {ind} \mathsf{K} '_0 = -1$, из леммы 1 следует, что $ \mathsf{Q} / \mathsf{Q} '$ — точечный модуль. Лемма 7. Пусть $a$ — вертикальная координата полосы $\Omega\setminus\Omega'$, т. е. $\deg_{x_3} f =a$ для всех $f\in M / M '$. Тогда начиная со степени $1$. Доказательство. Ряд превращается в $1$ после умножения слева или справа на $x_1+x_2$. Меняя ролями $x_1$ и $x_2$ и беря разность мы получаем аналог обычной $\delta$-функции, который аннулируется умножением на $x_1+x_2$ и справа, и слева.
Элемент из $(\mathsf{Q} / \mathsf{Q} ')_d$ — это усечение ряда $x_3^a x_1^{-a+d+1} \delta$ с двух сторон. Оно аннулируется умножением слева на откуда следует доказываемое утверждение. $\Box$4.5. Черные границыТеперь пусть $\Omega'$ — не допускающая замощения область, полученная сдвигом одной из черных горизонтальных границ области $\Omega$ на один шаг наружу. Рассмотрим отображение $ M '\to M $, соответствующее ограничению функций. Согласно лемме 6, оно определяет вложение $ \mathsf{Q} '\to \mathsf{Q} $. Далее, $x_3 \mathsf{Q} $ — это образ модуля $ \mathsf{Q} '$, а значит, $ \mathsf{Q} / \mathsf{Q} '$ снова является точечным модулем, на который сюръективно отображается $\partial_3 \mathsf{Q} $. Лемма 8. Пусть $a$ — вертикальная координата полосы $\Omega'\setminus\Omega$, т. е. $\deg_{x_3} f =a$ для всех $f$ из ядра отображения ограничения $ M '\to M $. Тогда начиная со степени $1$. Доказательство. Возьмем $f$ из $ \mathsf{Q} _d$ и обозначим через $f_{d-a+1} x_3^{a-1}$ одночлены от $f$ вдоль рассматриваемой границы. Здесь $f_{d-a+1}$ обозначает многочлен от $x_1$ и $x_2$ степени $d-a+1$. Ясно, что $f$ можно продолжить на элемент из $ \mathsf{Q} '$ тогда и только тогда, когда мы можем найти многочлен $g_{d-a}(x_1,x_2) x_3^a$ с носителем в $\Omega'\setminus \Omega$, такой, что Из коммутационных соотношений в $ \mathsf{A} $ следует, что для любого элемента $f_k\in \mathsf{A} _k$, который не зависит от $x_3$, и любого $C$ мы можем найти $f'_k\in \mathsf{A} _k$, такой, что Отсюда следует, что $x_1 + q^{a}q_{21}^{d+1} x_2$ аннулирует $(\mathsf{Q} / \mathsf{Q} ')_d$, что и требовалось доказать. $\Box$ 4.6.Подведем итоги. Теорема 2. Имеет место изоморфизм начиная со степени $1$, где $a_i$ — вертикальные координаты горизонтальных границ области $\Omega$. Доказательство. Многочлен Гильберта каждой части формулы (14) равен константе $\deg\Omega$. Мы построили отображение из левой части в правую. Его ядро состоит из функций $f$, которые обращаются в нуль на граничных полосах вдоль белых границ области $\Omega$ и могут быть продолжены как решения уравнения $ \mathsf{K} f =0$ на горизонтальную полосу сразу за черными границами области $\Omega$. Эта модифицированная область представляет собой сдвиг области $\Omega(-1)$ в направлении координаты $x_3$, и из наших условий на $f$ следует, что $f\in x_3 \mathsf{Q} $. Значит, указанное отображение является изоморфизмом. $\Box$
§ 5. Соответствия и перенормировка5.1.Пусть область $\Omega'$ получена из $\Omega$ сдвигом одного сегмента границы на один шаг, как в разд. 4.4 и 4.5. Соответствующие модули $ \mathsf{Q} $ и $ \mathsf{Q} '$ можно включить в точную последовательность вида с точечным модулем $P$. Модули с минимальной резольвентой вида (12) образуют открытое множество в пространстве модулей $ \mathsf{A} $-модулей ранга $0$, для которых Обозначим через $ \mathcal{M} (c_1,c_2)$ конечное накрытие этого открытого множества, в котором выбрана нумерация слагаемых из (14).Для общего $c_2$ определим $ \mathcal{M} (c_1,c_2)$ как пространство модулей $ \mathsf{A} $-модулей, минимальная резольвента которых совпадает с коммутативной резольвентой в общем положении, вместе с выбором упорядочения граничных точек. Например, для
$$
\begin{equation*}
(c_1,c_2) = (D,D(D+3)/2-k), \qquad 0\leqslant k \leqslant D/2,
\end{equation*}
\notag
$$
соответствующие модули $ \mathsf{Q} ''$ имеют минимальную резольвенту более общего, чем (13), вида
$$
\begin{equation*}
0\to \mathsf{A} (-2)^{D-k} \to \mathsf{A} ^k \oplus \mathsf{A} (-1)^{D-k} \to \mathsf{Q} '' \to 0.
\end{equation*}
\notag
$$
5.2. Некоммутативный сдвиг на якобианеЛегко видеть, что в частности, эта размерность не зависит от $c_2$. Лемма 9. Вложение Доказательство. Достаточно рассмотреть коммутативный случай, а в этом случае нужным отображением является сдвиг на $P$ на якобиане кривой $Q$ (см. разд. 3.2). $\Box$ Это означает, что мы имеем действие группы $ \mathsf{S} \cong \mathbb{Z} ^{3 c_1}$ на $\bigsqcup_{c_2} \mathcal{M} (c_1,c_2)$ бирациональными преобразованиями. Подгруппа вида $ \mathbb{Z} ^{3 c_1-1}$ сохраняет $c_2$ и бирационально действует на отдельных компонентах. Возможно, для такого действия подходит название из заголовка этого раздела — некоммутативный сдвиг на якобиане. Похожие групповые действия можно определить и для других некоммутативных поверхностей. Оказывается, они обобщают многие ранее изучавшиеся дискретные динамические системы. Это тема совместной работы Э. Рейнса и автора, результаты которой содержатся в [20]. 5.3.Ренормализация играет центральную роль в математической физике. Для любой замащиваемой области $\Omega$ и любого числа $m\in \mathbb{Z} _{>0}$ растянутая область $m\Omega$ остается замащиваемой, поэтому встает естественный вопрос — как такое растяжение влияет на наши случайные поверхности? Разумеется, с тем же успехом можно было бы не растягивать область $\Omega$, а уменьшить размер сетки в $m$ раз. Чтобы придать слову <<влияние>> математический смысл, было бы желательно описать поведение физической системы, в данном случае случайных поверхностей, в терминах некоторого конечномерного многообразия параметров с действием полугруппы растяжений. Однако практическое воплощение этой важной классической идеи почти всегда связано с приближениями и обрезаниями. Это и естественно при попытке втиснуть бесконечномерную задачу в конечномерную динамическую систему. 5.4.Рассмотренные здесь задачи стоят особняком в том плане, что в них с самого начала заложена конечномерность — это проявляется уже в конечности числа сегментов, ограничивающих область $\Omega$. Кроме того, квантовая предельная форма $ \mathsf{Q} $ изменяется в конечномерном пространстве модулей. В ней закодирована существенная информация о корреляционных функциях, так что когда нам удастся описать изменение формы $ \mathsf{Q} $ при растяжениях, мы сможем считать, что тем самым разобрались и в ренормализационной динамике. Ясно, что преобразование растяжения состоит из многих некоммутативных сдвигов на якобиане; а именно, справедлива следующая теорема. Теорема 3. Преобразование растяжения $\Omega\mapsto m\cdot\Omega$ сохраняет $ \mathsf{S} $-орбиту формы $ \mathsf{Q} $ и сплетает действия элементов $s\in \mathsf{S} $ и $m\cdot s\in \mathsf{S} $. 5.5.Если вместе с растяжением соответствующим образом меняется и параметр $q$, то предел при $m\to\infty$ превращается в термодинамический предел
$$
\begin{equation*}
\textrm{размер сетки}\to 0, \quad \log q = O(\textrm{размер сетки}) ,
\end{equation*}
\notag
$$
переход к которому все это время и был нашей конечной целью. В термодинамическом пределе мы можем трактовать некоммутативные сдвиги на якобиане как возмущения коммутативных сдвигов и пользоваться инструментарием хорошо развитой теории возмущений интегрируемых систем. Анализ некоммутативных сдвигов с этой точки зрения был проделан в [10]. В частности, в этой работе будет показано, что квантовая предельная форма $ \mathsf{Q} $ и самом деле является деформацией кривой $Q$, которая определяет (классическую) предельную форму. § 6. Заключительные замечания6.1.Оператор Кастелейна в $\Gamma_6$ имеет бесконечномерное ядро, и чтобы уравнение Кастелейна имело единственное решение, нужно наложить граничные условия. Напротив, если известно второе разностное уравнение степени $d$, то решения образуют $d$-мерное векторное пространство, натянутое на модулированные плоские волны. Этот простой принцип позволяет контролировать оператор $ \mathsf{K} ^{-1}$ в термодинамическом пределе, который представляет главный интерес при аналитическом изучении ступенчатых поверхностей. На самом деле есть надежда, что эти методы окажутся полезными при доказательстве ЦПТ для ступенчатых поверхностей с многоугольными границами (методы анализа граничных условий другого сорта можно найти в [7]), а также при определении локальных корреляций. А поскольку полигональные границы плотны в пространстве всех границ, вычисление локальных корреляций для них имеет непосредственное отношение к классификации мер Гиббса (много информации о ней содержится в [21]). Следует отметить, что в недавнее время замечательных прогресс в этих задачах был достигнут Аггарвалом [25] без использования конструкции данной статьи. 6.2.Теория Кастелейна и формализм статьи [9] работают для любого периодического двудольного плоского димера. Было бы очень интересно изучить форму квантового предела в этой общности; вероятно, следует начать с периодически взвешенных трехмерных разбиений, точное перечисление которых представляет собой хорошо известную комбинаторную и геометрическую задачу. Было бы также очень интересно найти приложения к разностным уравнениям, отличным от уравнения Кастейна, например, к дискретным уравнениям Дирака в размерностях $>2$. 6.3.Для граничных условий очень специального вида (основные сведения можно найти, например, в [15], [13]) $q$-взвешенные статистические суммы $Z$ ступенчатых поверхностей превращаются в производящие функции $Z_{DT}$ для инвариантов Дональдсона–Томаса торических трехмерных многообразий Калаби–Яу2. Вообще, существует гипотеза, что для любого гладкого квазипроективного трехмерного многообразия $X$ разложение функции $\log Z_{DT}$ по степеням величины $\log q$ порождает инварианты Громова–Виттена того же трехмерного многообразия $X$, род за родом [11]. Для торического трехмерного многообразия $X$ она была доказана в [12]. Эта гипотеза, в частности, связывает инварианты Громова–Виттена рода $0$ многообразия $X$ с ведущей асимптотикой функции $\log Z$ при $\log q\to 0$ и, следовательно, с предельной формой $Q$. Зеркальная симметрия, которая представляет собой слишком сложное и многогранное явление, чтобы можно было обсудить ее здесь сколько-нибудь подробно, связывает, по сути, ту же кривую $Q$ с $X$. Таким образом, в данном конкретном случае подход, основанный на предельной форме, ставит зеркальную симметрию на прочный вероятностный фундамент. Квантовая предельная форма $ \mathsf{Q} $ улавливает флуктуации и, следовательно, все порядки разложения функции $\log Z$, а потому является сильным кандидатом на роль пока еще загадочного зеркала высшего рода многообразия $X$. Более того, будучи категорным объектом, квантовая предельная форма $ \mathsf{Q} $ имеет больше шансов быть обобщенной на неторические многообразия $X$, нежели лежащий в ее основе подсчет ящиков. Прогресс в этом направлении остается одновременно весьма желательным и недостаточным. 6.4.Существует и другой способ извлечения инвариантов Громова–Виттена высших родов из кривой $Q$, который был предложен в [2] и основан на диаграммных методах, разработанных в контексте случайных матриц (см., например, [3]). Использование некоммутирующих переменных в соответствующем контексте было предложено, в частности, в [5]. Разумно ожидать, что эти два подхода сблизятся, тем более что различные модели случайных матриц естественно интерпретировать как непрерывные пределы ступенчатых поверхностей. Например, случайные матрицы можно увидеть в непосредственной близости от точек, в которых $Q$ пересекает оси координат [16]. Существуют также многочисленные параллели между случайными матрицами и планшерелевскими мерами на разбиениях, которые индуцируются на срезах ступенчатых поверхностей [14].
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Oko24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|