Модифицированный двоичный интеграл и производная дробного порядка на $\mathbb{R}_+$

Для функций из пространства Лебега $L(\mathbb{R}_+)$ введены модифицированный сильный двоичный интеграл $J_\alpha$ и производная $D^{(\alpha)}$ дробного порядка $\alpha>0$. Установлены критерии их существования для данной функции $f\in L(\mathbb{R}_+)$. Найдено счетное множество собственных функций операторов $D^{(\alpha)}$ и $J_\alpha$, $\alpha>0$. Доказаны равенства $D^{(\alpha)}(J_\alpha(f))=f$ и $J_\alpha(D^{(\alpha)}(f))=f$ при условии $\int_{\mathbb{R}_+} f(x)\,dx=0$. Установлена неограниченность линейного оператора $J_\alpha\colon L_{J_\alpha}\to L(\mathbb{R}_+)$, где $L_{J_\alpha}$ — его естественная область определения. Аналогичное утверждение доказано для оператора $D^{(\alpha)}\colon L_{D^{(\alpha)}}\to L(\mathbb{R}_+)$. Кроме того, для функции $f\in L(\mathbb{R}_+)$ и данной точки $x\in\mathbb{R}_+$ введены модифицированная двоичная производная $d^{(\alpha)}(f)(x)$ и модифицированный двоичный интеграл $j_\alpha(f)(x)$. Доказаны равенства $d^{(\alpha)}(J_\alpha(f))(x)=f(x)$ и $j_\alpha(D^{(\alpha)}(f))=f(x)$ в каждой двоичной точке Лебега функции $f$.