Усреднение уравнений типа Шрёдингера: операторные оценки при учете корректоров

В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный эллиптический дифференциальный оператор $A_\varepsilon$ второго порядка. Предполагается, что коэффициенты оператора $A_\varepsilon$ периодичны и зависят от $\mathbf x/\varepsilon$, где $\varepsilon>0$ — малый параметр. Изучается поведение операторной экспоненты $e^{-iA_\varepsilon\tau}$ при малом $\varepsilon$ и $\tau\in\mathbb{R}$. Результаты применяются к исследованию поведения решения задачи Коши для уравнения типа Шрёдингера $i\partial_\tau \mathbf{u}_\varepsilon(\mathbf x,\tau)=-(A_\varepsilon{\mathbf u}_\varepsilon)(\mathbf x,\tau)$ с начальными данными из специального класса. При фиксированном $\tau$ и $\varepsilon\to0$ решение ${\mathbf u}_\varepsilon(\cdot,\tau)$ сходится в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ к решению усредненной задачи; погрешность имеет порядок $O(\varepsilon)$. Получены аппроксимации решения ${\mathbf u}_\varepsilon(\cdot,\tau)$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon^2)$ и в $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с погрешностью $O(\varepsilon)$. В этих аппроксимациях учитываются корректоры. Отслежена зависимость погрешностей от $\tau$.