Преобразование Фурье на плоскости Лобачевского и операционное исчисление

Классическое преобразование Фурье на прямой переводит оператор умножения на $x$ в $i\frac{d}{d\xi}$, а оператор дифференцирования $\frac{d}{d x}$ в умножение на $-i\xi$. В случае преобразования Фурье на плоскости Лобачевского мы устанавливаем аналогичное соответствие для некоторого семейства дифференциальных операторов. Оказывается, что дифференциальным операторам на плоскости Лобачевского соответствуют дифференциально-разностные операторы в фурье-образе, причем операторы сдвига действуют в мнимом направлении (по отношению к контуру интегрирования в формуле Планшереля).