Операторные оценки погрешности при усреднении гиперболических уравнений

В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный сильно эллиптический дифференциальный оператор $A_\varepsilon$ второго порядка. Предполагается, что коэффициенты оператора $A_\varepsilon$ периодичны и зависят от ${\mathbf x}/\varepsilon$, где $\varepsilon>0$ — малый параметр. Получены аппроксимации операторов $\cos(A_\varepsilon^{1/2}\tau)$ и $A_\varepsilon^{-1/2}\sin(A_\varepsilon^{1/2}\tau)$ по норме операторов, действующих из пространства Соболева $H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ (при подходящем $s$). Для оператора $A_\varepsilon^{-1/2}\sin (A_\varepsilon^{1/2}\tau)$ получена также аппроксимация при учете корректора по $(H^s\to H^1)$-норме. Исследован вопрос о точности результатов относительно типа операторной нормы и относительно зависимости оценок от $\tau$. Результаты применяются к исследованию поведения решений задачи Коши для гиперболического уравнения $\partial_\tau^2\mathbf{u}_\varepsilon=-A_\varepsilon{\mathbf u}_\varepsilon$.