Среднее число решений систем уравнений

Пусть $V_1,\dots,V_n$ — конечномерные пространства гладких функций на гладком $n$-мерном многообразии $X$. Для систем уравнений $\{f_i=a_i\mid f_i\in V_i,\,a_i\in{\mathbb R},\,i=1,\dots,n\}$ устанавливается связь между средним числом решений и смешанными объемами выпуклых тел. Для этого мы, предполагая пространства $V_i$ нормированными, строим 1) меры в пространствах систем уравнений и 2) банаховы выпуклые тела в $X$, т. е. семейства центрально симметричных выпуклых тел в слоях кокасательного расслоения многообразия $X$. Объемом банахова выпуклого тела мы называем симплектический объем объединения этих тел. Оказывается, что среднее число решений равно смешанному симплектическому объему банаховых выпуклых тел, соответствующих пространствам $V_i$. При этом в правой части равенства могут появляться произвольные гладкие строго выпуклые банаховы тела. Ранее рассматривался случай евклидовых пространств $V_i$. В этом случае банаховы тела являются семействами эллипсоидов.