Многомерные модули выпуклости и округлости в банаховых пространствах

Джеремия и Салливен [Ann. Math Pure Appl., 127 (1981), 231–251] дали необходимое и достаточное условие для того, чтобы $\ell^p$-произведение пространств было 2-равномерно округлым. Мы распространяем этот результат на случай $k$-равномерной округлости для любого целого числа $k>1$. Нерефлексивное, равномерно неоктаэдрическое банахово пространство $\widetilde X$, построенное Джеймсом [Israel J. Math., 18 (1974), 145–155], не содержит произвольно точных копий пространства $\ell^{k+1}_1$, хотя и не является $k$-равномерно округлым для любого $k\ge2$. Отсюда видно, что банахово пространство $X$, не являющееся $k$-равномерно округлым, не обязательно содержит произвольно точные копии пространства $\ell^{k+1}_1$ для любого $k\ge2$. Мы показываем, что достаточное условие для того, чтобы банахово пространство $X$ не было $k$-равномерно округлым, состоит в том, что оно содержит произвольно точную копию одной из граней пространства $\ell^{k+1}_1$, а не самого $\ell^{k+1}_1$.