К распределению нулевых множеств голоморфных функций. III. Теоремы обращения

Пусть $M$ — субгармоническая функции в области $D\subset \mathbb C^n$ с мерой Рисса $\nu_M$, ${\mathsf Z}\subset D$. Как было показано в первой из предшествующих статей, если существует голоморфная функция $f\neq 0$ в $D$, $f({\mathsf Z})=0$, $|f|\leq \exp M$ на $D$, то имеет место некоторая шкала интегральных равномерных оценок сверху распределения множества $\mathsf Z$ через $\nu_M$. В настоящей статье показано, что при $n=1$ этот результат «почти обратим». Из такой шкалы оценок распределения точек последовательности ${\mathsf Z}:=\{{\mathsf z}_k \}_{k=1,2,\dots}\subset D\subset \mathbb C$ через $\nu_M$ следует, что существует ненулевая голоморфной функции $f$ в $D$, $f(\mathsf Z)=0$, $|f|\leq \exp M^{\uparrow}$ на $D$, где функция $M^{\uparrow}\geq M$ на $D$ строится через усреднения функции $M $ по быстро сужающимся кругам при приближении к границе области $D$ с некоторой возможной аддитивной логарифмической добавкой, связанной со скоростью сужения этих кругов.