Волновая модель метрических пространств

Пусть $\Omega$ — метрическое пространство, $A^t$ — метрическая окрестность множества $A\subset\Omega$ радиуса $t$, $\mathfrak O$ — решетка открытых в $\Omega$ множеств с частичным порядком $\subseteq$ и порядковой сходимостью. Решетка $\mathfrak O$-значных функций от $t\in(0,\infty)$ с поточечными частичным порядком и сходимостью содержит семейство ${I\mathfrak O}=\{A(\,\boldsymbol\cdot\,)\mid A(t)=A^t,\,A\in\mathfrak{O}\}$. Пусть $\widetilde\Omega$ есть множество атомов порядкового замыкания $\overline{I\mathfrak O}$. Мы описываем класс пространств, для которых множество $\widetilde\Omega$, снабженное адекватной метрикой, оказывается изометричным исходному пространству $\Omega$.
Пространство $\widetilde\Omega$ — это ключевой элемент конструкции волнового спектра симметрического полуограниченного оператора, предложенной в работе одного из авторов. В ней намечена программа построения функциональной модели операторов указанного класса. Настоящая статья — шаг в реализации этой программы.