Операционное исчисление для преобразования Фурье на группе $\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$ и задача о действии надалгебры в планшерелевском разложении

Рассматривается преобразование Фурье на группе $\operatorname{GL}(2,\mathbb{R})$ вещественных матриц порядка $2$. Мы показываем, что Фурье-образы дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами на $\operatorname{GL}2,\mathbb{R})$ являются дифференциально-разностными операторами с коэффициентами, мероморфными по параметрам представлений. Выражения для операторов содержат сдвиги в мнимом направлении по отношению к контуру интегрирования в формуле Планшереля. Мы приводим явные формулы для образов частных дифференцирований и умножений на координаты.