Интегрируемые системы алгебраического происхождения и разделение переменных

Плоская алгебраическая кривая, многоугольник Ньютона которой содержит $d$ целочисленных точек, полностью определяется заданием $d$ точек плоскости, через которые она проходит. Ее коэффициенты, рассматриваемые как функции наборов координат этих точек, коммутируют относительно скобки Пуассона, соответствующей паре координат любой из точек. Это наблюдение сделано Бабелоном и Талоном (2002). Результат, более общий в некоторых отношениях, и менее общий в других, получен Энрикесом и Рубцовым (2003). Как частный случай, мы получаем, что коэффициенты интерполяционного полинома Лагранжа коммутируют относительно скобок Пуассона, заданных на данных интерполяции. Мы доказываем общее утверждение в рамках метода разделения переменных, которое объясняет все эти факты. Оно таково: каждая (невырожденная) система $n$ гладких функций от $n+2$ переменных порождает интегрируемую систему с $n$ степенями свободы. Кроме уже упомянутых, примеры включают в себя версию интерполяционного полинома Эрмита, системы, связанные с моделями Вейерштрасса кривых (= миниверсальными деформациями особенностей). Недавно интегрируемая система, связанная с интерполяционным полиномом Лагранжа, возникла как редукция гиперэллиптических систем Хитчина ранга два (таким образом давая ее частные решения — Шейнман, доклады РАН, готовится к печати), а ее квантовый аналог — при изучении интегрируемых систем, связанных с симметрическими степенями кривых (Бухштабер–Михайлов, 2017).