Мощность множества $\Lambda$ определяет геометрию пространств $\mathsf{B}_{\ell_\infty(\Lambda)}$ и $\mathsf{B}_{\ell_\infty(\Lambda)^*}$

Изучена геометрия единичного шара в пространстве $\ell_\infty(\Lambda)$ и в сопряженном пространстве и среди прочего доказано, что множество $\Lambda$ счетно тогда и только тогда, когда $1$ — выступающая точка шара $\mathsf{B}_{\ell_\infty(\Lambda)}$. С другой стороны, доказано, что множество $\Lambda$ конечно тогда и только тогда, когда функционалы $\delta_\lambda$ — единственные функционалы, принимающие значение $1$ на каком-либо каноническом элементе и обращающиеся в нуль на остальных канонических элементах. Показано также, что сужения функционалов вычисления на некоторое двумерное подпространство не обязаны быть крайними точками пространства, сопряженного к этому двумерному подпространству. Наконец, доказано, что если $\Lambda$ несчетно, то грань шара $\mathsf{B}_{\ell_\infty(\Lambda)^*}$, состоящая из функционалов единичной нормы, норма которых достигается на постоянной функции $1$, имеет пустую внутренность относительно единичной сферы $\mathsf{S}_{\ell_\infty(\Lambda)^*}$.