Об одном обобщении формулы Бернштейна для определения ширины полосы голоморфности функции

Пусть $A$ — линейный неограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве $X$, с областью определения $\mathfrak{D}(A)$, а $\mathfrak{G}_\zeta(A)$, где $\zeta>0$, — множество векторов $g\in\bigcap_{r\in\mathbb{N}}\mathfrak{D}(A^r)$, для которых $\|A^rg\|\le c(g)\zeta^r$, $r\in\mathbb{N}$, и пусть $E_\zeta(f,A)=\inf_{g\in\mathfrak{G}_\zeta(A)}\|f-g\|$, $f\in X$. В работе, в частности, показано, что при определенных условиях на резольвенту оператора $A$ радиус сходимости ряда $e^{zA}f:=\sum_{r=0}^\infty(z^rA^rf)/r!$ равен $\varliminf_{\zeta\to\infty}\ln E_\zeta(f,A)^{-1/\zeta}$.