Усреднение задачи Дирихле для эллиптических и параболических систем с периодическими коэффициентами

Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ — ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. Пусть $0<\varepsilon\leqslant 1$. В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассматривается положительно определенный сильно эллиптический оператор $B_{D,\varepsilon}$ второго порядка при условии Дирихле на границе. Его коэффициенты периодичны и зависят от $\mathbf{x}\varepsilon$. Старшая часть оператора задается в факторизованной форме, оператор включает члены младших порядков. Изучается поведение при $\varepsilon \to 0$ обобщенной резольвенты $(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0(\cdot/\varepsilon))^{-1}$, где матрица-функция $Q_0$ периодична, ограничена и положительно определена, а $\zeta$ — комплексный параметр. Найдены аппроксимации обобщенной резольвенты по операторной норме в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, а также по норме операторов, действующих из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в пространство Соболева $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, с двупараметрическими оценками погрешности (в зависимости от $\varepsilon$ и $\zeta$). Обратное преобразование Лапласа позволяет применить «эллиптические» результаты к усреднению решения первой начально-краевой задачи для параболического уравнения $Q_0({\mathbf x}/\varepsilon)\partial_t {\mathbf v}_\varepsilon({\mathbf x},t)= - ( B_{D,\varepsilon} {\mathbf v}_\varepsilon)({\mathbf x},t)$.